Система Orphus

Система Orphus

Свойства собственных векторов и собственных значений линейных преобразований.

Линейное преобразование - это отображение, которое отображает линейное пространство в то же самое пространство.


Определение. Если для числа \lambda подпространство \mathrm{Ker}(A-\lambda E) ненулевое, то \lambda называется собственным значением преобразования, а подпространство - собственным подпространством, соответствующим собственному значению \lambda.


Определение. Вектор x называется собственным вектором преобразования A, соответствующим собственному значению \lambda, если: 1)x\ne 0; 2) A(x)=\lambda x.


Предположение 5. Собственные вектора и только они являются базисными векторами одномерных подпространств, инвариантных относительно A.

Доказательство. Пусть вектор x собственный, а y принадлежит одномерному подпространству L' с базисом x. Тогда y=\alpha x и A(y)=\alpha A(x)=\alpha\lambda x. Значит, A(y) лежит в L'.

Пусть x - базис инвариантного подпространства L'. Тогда A(x) лежит в L' и раскладывается по базису: A(x)=\lambda x. Так как x\ne 0, он собственный.


Предположение 6. В i-м столбце матрицы линейного преобразования все элементы вне главной диагонали равны нулю тогда и только тогда, когда i-й базисный вектор собственный. В этом случае диагональный элемент столбца - собственное значение.


Система Orphus

Комментарии