Система Orphus

Система Orphus

Самосопряженные преобразования евклидовых пространств, свойства их собственных значений и собственных векторов.

Линейное преобразование A евклидова пространства называется самосопряженным, если A=A^*. Это равносильно тому, что (A(x),y)=(x,A(y)) для любых x и y.


Теорема 1. Все корни характеристического многочлена самосопряженного преобразования вещественны.

Доказательство. Допустим, что самосопряженное преобразование A имеет не вещественный корень характеристического многочлена. Тогда согласно предположению 8 4 гл. VI существует двумерное инвариантное подпространство \Epsilon', не содержащее собственных векторов A. Обозначим через A' ограничение A на \Epsilon'. Поскольку A' - самосопряженное преобразование, в ортонормированном базисе оно будет иметь симметричную матрицу

\begin{Vmatrix} \alpha & \beta \\ \beta & \gamma \end{Vmatrix}

Характеристический многочлен этой матрицы \lambda^2-(\alpha+\gamma)\lambda+(\alpha\gamma-\beta^2) имеет дискриминант (\alpha+\gamma)^2-4(\alpha\gamma-\beta^2). Последнее легко преобразуется в (\alpha-\gamma)^2+4\beta^2. Следовательно, дискриминант неотрицателен, характеристический многочлен имеет вещественный корень, а преобразование A' - собственный вектор, что противоречит выбору подпространства \Epsilon'. Теорема доказана.


Теорема 2. Собственные подпространства самосопряженного преобразования попарно ортогональны.

Теорема равносильна следующему утверждению.

Если собственные векторы самосопряженного преобразования принадлежат различным собственным значениям, то они ортогональны.

Доказательство. Пусть A(x)=\lambda x и A(y)=\mu y, причем \lambda\ne \mu. Тогда

(A(x),y)=\lambda(x,y).

Но иначе можно получить

(A(x),y)=(x,A(y))=\mu(x,y).

Из этих двух равенств следует (\lambda-\mu)(x,y)=0, откуда (x,y)~=~0, как и требовалось.


Теорема 3. Если подпространство ~\Epsilon' инвариантно относительно самосопряженного преобразования A, то ортогональное дополнение ~\Epsilon^{\perp} этого подпространства - также инвариантно относительно A.

Доказательство. Нам дано, что для каждого x из ~\Epsilon' образ A(x) также лежит в ~\Epsilon'. Поэтому (A(x),y)=0 для любого y\in\Epsilon'^{\perp}. Но для самосопряженного A это равносильно (x,A(y))=0, и, следовательно, A(y)\in\Epsilon'^{\perp}, как и требовалось.


Теорема 4. Пусть A - самосопряженное преобразование евклидова пространства \Epsilon. Тогда в \Epsilon существует ортонормированный базис из собственных векторов A.

Доказательство. Обозначим через L сумму собственных подпространств преобразования A и докажем, что она совпадает с \Epsilon. Сумма собственных подпространств - инвариантное подпространство. Действительно, если вектор x раскладывается в линейную комбинацию собственных векторов (принадлежащим каким бы то ни было собственным значениям), то его образ раскладывается по ним же.

Из теоремы 3 следует, что ортогональное дополнение L также инвариантно. Допустим, что подпространство L^{\bot}ненулевое и рассмотрим ограничение A' преобразования A на L^{\bot}. Это самосопряженное преобразование, и потому оно имеет вещественные характеристические числа и, следовательно, хоть один собственный вектор. Этот вектор собственный и для A и должен лежать в L. Так как он не нулевой, в L^{\bot} он лежать не может. Полученное противоречие показывает, что L^{\bot} - нулевое подпространство, и L совпадает с \Epsilon.


Д.В. Беклимишев Курс аналитической геометрии и линейной алгебры стр. 228-231


Система Orphus

Комментарии