Система Orphus

Система Orphus

Положительно определенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра.

Определение. Квадратичную форму k будем называть положительно определенной на подпространстве L' пространства L, если k(x)>0 для любого ненулевого вектора x из L'.

Если говорят, что квадратичная форма положительно определена без уточнения подпространтсва, то она обладает таким свойством на всем L.


Теорема. Для положительной определенности квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы миноры её матрицы удовлетворяли неравенствам

M_k=\begin{vmatrix}\beta_{11}&\cdots&\beta_{1k}\\

\cdots&\cdots&\cdots \\

\beta_{k1}&\cdots&\beta_{kk}\end{vmatrix} > 0~~(k=1,\cdots,n)~~~~~(13).

Миноры вида (13) называются главными минорами матрицы.

Доказательство. Для доказательства вспомним преобразования матрицы квадратичной формы, примененные при доказательстве теоремы 1.

1. Необходимость. Если квадратичная форма k положительно определена, то диагональные элементы её матрицы в любом базисе удовлетворяет условию

\beta_{ii}=k(e_i)>0,

и, следовательно, при приведении матрицы к диагональному виду особый случай не встретится. В основном случае к любой строке может быть прибавлена только лежащая выше, а к любому столбцу - только расположенный левее. При таких преобразованиях главные миноры матрицы не изменятся. Но у диагональной матрицы для положительно определенной квадратичной формы главные миноры положительны. Поэтому они положительны и у исходной матрицы.

2. Достаточность. Пусть все главные миноры матрицы B положительны. В частности, M_1=\beta_{11}>0, и первый шаг преобразования приводит матрицу к виду (10) с \varepsilon_1>0. Допустим, что после k шагов мы получили матрицу B_k с положительными \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_k, причем не возникало особого случая. Тогда для левого верхнего элемента матрицы C_k имеем

\varepsilon_{k+1}=M_{k+1}/M_k

, так как главные миноры не менялись. Поэтому \varepsilon_{k+1}>0, на очередном шаге преобразования имеет место основной случай и полученная матрица имеет положительные элементы \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_{k+1}. Рассуждая так для всех k, мы придем к доказательству утверждения.


Д.В. Беклемишев Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. стр. 204.


Система Orphus

Комментарии