Система Orphus

Система Orphus

Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью - квазимногочленом.

Рассмотрим уравнение

L(D)y(x)=e^{\mu x}\cdot P_m(x)~~~~(1)

где \mu - заданное комплексное число, P_m(x) - заданный многочлен степени m.


Определение. Если число \mu является корнем характеристического уравнения L(\lambda)=0, то говорят, что в уравнении (1) имеет место резонансный случай.


Теорема. Для уравнения (1) существует и единственно решение вида

y(x)=x^k\cdot Q_m(x)\cdot e^{\mu x}

где Q_m(x) - многочлен одинаковой с P_m(x) степени m, а число k равно кратности корня \mu характеристического уравнения L(\lambda)=0 в резонансном случае и k=0 в нерезонансном.


Доказательство. Если \mu\ne 0, то заменой y=e^{\mu x}\cdot z в уравнении (1) всегда можно избавиться от e^{\mu x} в правой части.

L(D)e^{\mu x}z~=~e^{\mu x}L(D+\mu)z=e^{\mu x}P_m(x)

Отсюда L(D+\mu)z~=~P_m(x).

Таким образом доказательство теоремы осталось провести для уравнения вида

L(D)y=P_m(x)~~~~~(2)

a) Нерезонансный случай: L(0)\ne 0. Пусть

P_m(x)~=~p_0x^m+...+p_m ,
Q_m(x)~=~q_0x^m+...+q_m .

Подставляя P_m, Q_m в уравнениие (2) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем линейную алгебраическую систему уравнений для определения неизвестных коэффициентов q_0,...,q_m

\left\{\begin{array}{lcl}a_nq_0=p_0\\
              a_nq_1+a_{n-1}\cdot mq_0=p_1\\
              ......\\
              a_nq_m=0+...=p_m\end{array} 
\right.

Матрица этой системы треугольная с числами a_n=L(0)\ne 0 по диагонали,поэтому коэффициенты Q_m(x) определяются однозначно.

б) Резонансный случай:L(\lambda)~=~\lambda^k(\lambda^{n-k}+a_1\lambda^{n-k-1}+...+a_{n-k})


Следовательно L(D)=\left\{\begin{array}{lcl}D^n+a_1D^{n-1}+...+a_{n-k}D^k, k < n\\
                D^n, k=n \end{array} 
   \right.

В случае k < n замена D^ky=z в уравнении (1) приводит к уравнению

L_1(D)z\equiv (D^{n-k}+...+a_{n-k})z=P_m(x)


Поскольку L_1(0)=a_{n-k}\ne 0, то для этого уравнения имеет место нерезонансный случай. Следовательно существует, единственное решение этого уравнения z=R_m(x).

Рассмотрим уравнение

D^ky=\left\{\begin{array}{lcl}R_m(x), k < n\\
                P_m(x), k=n \end{array} 
  \right.

Взяв нулевые начальные условия для этого уравнения

y(0)=y'(0)=...=y^{(k-1)}(0)=0

получаем единственное решение вида

y(x)=x^k\cdot Q_m(x).

Система Orphus

Комментарии