Система Orphus

Система Orphus

Системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения.

Рассмотрим нормальную линейную однородную систему

\dot{x}(t)=Ax(t),~~~~~(1)

где t \in \mathbb{R}, A - квадратная комплексная матрица порядка n, x(t) - неизвестная вектор-функция с n компонентами.


Лемма 1. Если x^{(1)}(t), x^{(2)}(t) решения системы (1), а C_1, C_2 - произвольные комплексные числа, то вектор-функция x(t)=C_1x^{(1)}(t)+C_2x^{(2)}(t) также решение системы (1).


Лемма 2. Для того, чтобы вектор-функция x(t)=e^{\lambda t}h была нетривиальным решением системы (1), необходимо и достаточно, чтобы \lambda было собcтвенным значением, а h - соответствующим ему собственным вектором преобразования A.

Доказательство. Будем искать решение (1) в виде x(t)=e^{\lambda t}h, где h\ne 0 - числовой n - мерный вектор. Подставляя x(t) в систему (1), получим \lambda e^{\lambda t}h=Ae^{\lambda t}h или Ah=\lambda h.


Теорема. Пусть существует базис \mathbb{R}^n из собственных векторов h_1,...,h_n линейного преобразования A и пусть \lambda_1,...,\lambda_n - соответствующие им собственные значения.

Тогда:

а) Вектор-функция x(t) вида

x(t)=C_1e^{\lambda_1 t}h_1+...+C_ne^{\lambda_n t}h_n~~~~~~(2)

где C_1,...,C_n произвольные комплексные постоянные, является решением системы (1).

б)Если x(t) - какое-либо решение системы (1), то найдутся такие значения постоянных C1,...,Cn, при которых x(t) задается формулой (2).


Доказательство.

а)Утверждение теоремы непосредственно следует из лемм 1 и 2.

б)Пусть x(t) - какое-либо решение (1). Так как h_1,....,h_n - базис в \mathbb{R}^n, то для \forall t\in\mathbb{R}

x(t)=\zeta_1(t)h_1+...+\zeta_n(t)h_n.

Подставим x(t) в систему (1). Имеем

\dot\zeta_1(t)h_1+...+\dot\zeta_n(t)h_n=\zeta_1(t)Ah_1+...+\zeta_n(t)Ah_n=\zeta_1(t)\lambda_1h_1+...+\zeta_n(t)\lambda_nh_n.

Так как h_1,...,h_n - линейно независимые вектора, то отсюда

\dot\zeta_1(t)=\lambda_1\zeta_1(t),\ldots, \dot\zeta_n(t)=\lambda_n\zeta_n(t)

Из этих уравнений находим, что

\zeta_1(t)=C_1e^{\lambda_1t},\ldots,\zeta_n(t)=C_ne^{\lambda_nt}.

Лемма 3. Каждая из вектор-функций x_r(t)=e^{\lambda t}\cdot P_r(t), r=1,\ldots, k является решением системы (1), где P_k(t)=\left(\frac{t^{k-1}}{(k-1)!}h_1+...+h_k\right), где h_1,\ldots,h_k - некоторая жорданова цепочка для \lambda.

Доказательство. При k=1 утверждение леммы 3 доказано в лемме 2. Пусть k\geqslant 2. Тогда \dot{P}_r(t)=P_{r-1}(t), а из определения жордановой цепочки (3) следует, что AP_r(t)=\lambda P_r(t)+P_{r-1}(t). Подставляя x_r(t) в систему (1), получаем что

\dot{x}_r-Ax_r=\lambda e^{\lambda t}P_r+e^{\lambda t}\dot{P}_r-e^{\lambda t}AP_r=0.

Теорема. Пусть жорданов базис в \mathbb{C}^n состоит из 

S жордановых цепочек h_1^{(j)},..., h_{k_j}^{j} длин k_j (k_1+...+k_S=n) для собственных значений \lambda_j преобразования A, j=1,...,S.

Тогда:

а) вектор - функция вида

x(t)=\sum_{j=1}^{S}e^{\lambda_j t}\left[C_1^{(j)}P_1^{(j)}(t),...,C_{k_j}^{(j)}P_{k_j}^{(j)}(t) \right]~~~~~(5)

б) если x(t) - какое-либо решение системы (1), то найдется такой набор C_1^{(j)},...,C_{k_j}^{(j)} при котором x(t) задается в форме (5).

Доказательство.

a) немедленно следует из принципа суперпозиции и Леммы 3.

б) Пусть x(t) - какое-либо решение системы (1). Покажем, что оно имеет вид (5). При каждом \forall t\in\mathbb{R} решение x(t) можно раздожить по жордановому базису \mathbb{C}^n. Пусть

x(t)=\sum_{j=1}^{S}\left[\zeta_1^{(j)}(t)h_1^{(j)}+\zeta_{k_j}^{(j)}(t)h_{k_j}^{(j)} \right]

Подставим x(t) в (1) и воспользуемся определением жордановой цепочки. Имеем и из единственности разложениянаходим S систем вида:

\left\{\begin{array}{lcl}
\dot\zeta_1^{(j)}=\lambda_j\zeta_1^{(j)}+\zeta_2^{(j)} \\
........................\\
\dot\zeta_{k_j-1}^{(j)}=\lambda_j\zeta_{k_j-1}^{(j)}+\zeta_{k_j}^{(j)}\\
\dot\zeta_{k_j}^{(j)}=\lambda_j\zeta_{k_j}^{(j)}\end{array} 
\right.

решая эти системы приходи к утверждению теоремы.


Система Orphus

Комментарии