Система Orphus

Система Orphus

Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами.

Рассмотрим линейную неоднородную систему

y'(x)=A(x)y(x)+f(x),~~~~(1)

где x\in[\alpha,\beta] - заданная непрерывная на [\alpha,\beta] квадратная матрица порядка n, f(x) - заданная непрерывная на [\alpha,\beta] вектор-функция с n компонентами.

Непосредственно проверяется следующее предложение, называемое принципом суперпозиции для системы (1).


Лемма. Если f(x)~=~f_1(x)+f_2(x), y_1(x) - решение системы (1) при условии f(x)\equiv f_1(x) и y_2(x) - решение системы (1) при условииf(x)\equiv f_2(x), то y(x)=y_1(x)+y_2(x) - решение системы (1).


Если известно какое-либо частное решение (1), то интегрирование линейной неоднородной системы (1) сводится к интегрированию соответствующей (1) линейной однородной системы

z'(x)~=~A(x)z(x).~~~~~(2)

Теорема 1. Пусть y_0(x) - некоторое частное решение (1), и \Phi(x) - фундаментальная матрица (2). Тогда все решение системы (1) задаются формулой

y(x)~=~\Phi(x)c+y_0(x),

где c - произвольный числовой n-мерный вектор.

Доказательство. В системе (1) сделаем замену

y(x)~=~z(x)+y_0(x).

Тогда получаем, что z(x) удовлетворяет системе (2). Общее решение системы (2), как установлено в 2, имеет вид

z(x)=\Phi(x)c,~~~~(3)

где c - произвольный числовой n-мерный вектор. Из замены следует утверждение теоремы.


Теорема 2. Если \Phi(x) - фундаментальная матрица линейной однородной системы (2), то общее решение линейной неоднородной системы (1) при всех x\in[\alpha,\beta] задается формулой

y(x)=\Phi(x_0)\cdot d + \Phi(x_0)\cdot\int\limits_{x_0}^{x}\Phi^{-1}(\zeta)f(\zeta)d\zeta,

где x_0\in[\alpha,\beta] и d - произвольный числовой n - мерный вектор.

Доказательство. Согласно Лагранжу ищем решение (1) в таком же виде (3), что и решение однородной системы (2), но считаем c не постоянным, а непрерывно дифференцируемым вектором c(x), x\in[\alpha,\beta]:

y(x)~=~\Phi(x)\cdot c(x).

При таком переходе от y(x) к c(x) потери решений (1) не происходит, так как \mathrm{det}\Phi(x)\ne 0. Ниже будет видно, что такая замена неоднозначна. Функцию c(x) находим подстановкой y(x) в систему (1). Используя формулу производной произведения матрицы и вектор-функции, получаем, что

\Phi'(x)c(x)+\Phi(x)c'(x)=A(x)\Phi(x)c(x)+f(x).

Поскольку

\Phi'(x)~=~A(x)\Phi(x),
то
\Phi(x)c'(x)~=~f(x).
Так как матрица \Phi(x) невырожденная на [\alpha,\beta], то отсюда
c'(x)=\Phi^{-1}(x)\cdot f(x).

Это уравнение можно интегрировать, поскольку \Phi^{-1}(x)\cdot f(x) - непрерывная вектор-функция на [\alpha,\beta]. Проинтегрировав последнее уравнение, получаем утверждение теоремы.


В.К. Романко Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления.стр.167.


Система Orphus

Комментарии