Система Orphus

Система Orphus

Определитель Вронского. Формула Лиувилля-Остроградского.

Пусть y_1(x),\ldots,y_n(x) - система вектор-функций с n компонентами на [\alpha,\beta].

Определение. Определителем Вронского системы y_1(x),\ldots,y_n(x) называется определитель

W(x)\equiv W[y_1(x),\ldots,y_n(x)]=\mathrm{det}||y_1(x),\ldots,y_n(x)||.


Теорема. Пусть W(x) - вронскиан решений y_1(x),\ldots,y_n(x) системы (1) и пусть x_0\in[\alpha,\beta]. Тогда для \forall x\in[\alpha,\beta] имеет место формула Лиувилля-Остроградского

W(x)=W(x_0)e^{\int\limits_{x_0}^{x}\mathrm{sp}A(\zeta)d\zeta},

где \mathrm{sp}A(\zeta)=a_{11}(\zeta)+\ldots+a_{nn}(\zeta) называется следом матрицы A(\zeta).


Доказательство. Покажем, что W(x) удовлетворяет дифференциальному уравнению

W'(x)=\mathrm{sp}A(x)\cdot W(x),~~~~x\in[\alpha,\beta].

Пусть y_{ij}(x),~i=1,\ldots,n компоненты решения y_j(x),~j=1,\ldots,n. Тогда W(x) является функцией всех этих компонент:

W(x)=W[y_{11}(x),y_{21}(x),\ldots,y_{nn}(x)].

По формуле производной сложной функции получаем, что

W'(x)=\sum^{n}_{p,q=1}\frac{\partial W(x)}{\partial y_{pq}(x)}y'_{pq}(x).

Если W_{pr}(x) - алгебраическое дополнение y_{pr}(x) в W(x), то разложение W(x) по p-й строке дает

W(x)=\sum^{n}_{r=1}y_{pr}(x)\cdot W_{pr}(x).

Отсюда находим, что

\frac{\partial W(x)}{\partial y_{pq}}=W_{pq}(x).

Каждая вектор-функция y_q(x) удовлетворяет системе (1), т.е.

y'_{q}(x)=A(x)y_q(x),~~~q=1,\ldots,n,~~x\in[\alpha,\beta].

Отсюда находим, что

y'_{pq}(x)=\sum^{n}_{r=1}a_{pr}(x)y_{rq}(x),

где a_{pr}(x) - элементы матрицы A(x). Подставляя найденные выражения \frac{\partial W(x)}{\partial y_{pq}} и y'_{pq}(x) в формулу W'(x), получаем, что

W'(x)=\sum^{n}_{p,q=1}W_{pq}(x)\sum^{n}_{r=1}a_{pr}(x)y_{rq}(x)=\sum^{n}_{p,r}a_{pr}(x)\sum^{n}_{q=1}y_{rq}(x)W_{pq}(x).

Но из курса алгебры известно, что

\sum^{n}_{q=1}y_{rq}(x)W_{pq}(x)=W(x)\cdot\delta_{rp},

где \delta_{rp} - символ Кронекера. Тогда

W'(x)=W(x)\sum^{n}_{p,r=1}a_{pr}(x)\delta_{pr}=W(x)\sum^{n}_{p=1}a_{pp}(x)=W(x)\cdot\mathrm{sp}A(x).

Интегрирование этого линейного однородного уравнения первого порядка и дает требуемую формулу (6).


В.К. Романко Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления.стр.164.


Система Orphus

Комментарии