Система Orphus

Система Orphus

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано или Лагранжа.

Остаточный член формулы Тейлора

Пусть \exists f^{(n)}(x_0). Тогда в некоторой окрестности U(x_0) можно написать равенство

f(x) = \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k + r_n(f,x) = P_n(f,x) + r_n(f,x)~~~~(1),

которое называется формулой Тейлора функции f в точке x_0, где P_n(f,x) называется многочленом Тейлора, а r_n(f,x) - остаточным членом Тейлора (после n-го члена).

Если существует

\lim_{n\to\infty} r_n(x)=0,

то согласно определению сходимости ряда (1) сходится к функции f(x) в точке x.

Лемма

Пусть \exists f^{(n)}(x_0),f' в  \dot{U}(x_0). Тогда в  \dot{U}(x_0)


(r_n(f,x))'~=~r_{n-1}(f',x)

Доказательство:

(r_n(f,x))'=(f(x)-\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k)'= =f'(x)-\sum_{k=1}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{(k-1)!}(x-x_0)^{(k-1)}=r_{n-1}(f',x)

Теорема. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа

Пусть x>x_0 (x<x_0), n\in \mathbb{N}_0, f^{(n)} непрерывна на отрезке [x_0,x]([x,x_0]), \exists f^{(n+1)} на интервале (x_0,x)((x,x_0)). Тогда справедлива формула (1), в которой

r_n(f,x)=\frac{f^{(n+1)}(x_0+\theta(x-x_0))}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}

где 0<\theta<1.

Доказательство: будем проводить по индукции, считая x>x_0. При n=0 теорема утверждает, что при некотором \theta \in (0,1)


f(x)~=~f(x_0)+f'(x_0+\theta(x-x_0))(x-x_0).

Это утверждение верно, так как оно совпадает с доказанной ранее формулой конечных приращений Лагранжа.

Предположим, что утверждение верно при n-1 (n\geqslant 1) и установим, что оно верно и при n. Используя теорему Коши о среднем и лемму, имеем (для определенности x > x_0)


\frac{r_n(f,x)}{(x-x_0)^{n+1}}=\frac{r_n(f,x)-r_n(f,x_0)}{(x-x_0)^{n+1}-(x_0-x_0)^{n+1}}=

=\frac{r_{n-1}(f',\xi)}{(n+1)(\xi-x_0)^n}=\frac{(f')^{(n)}(\eta)}{(n+1)n!}=\frac{f^{(n+1)}(\eta)}{(n+1)!},

где x_0<\eta<\xi<x,а предпоследнее равенство написано в силу предположения индукции.

Теорема доказана.


О.В Бесов Лекции по математическому анализу.Часть 1. стр.90.

Теорема. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано

Пусть n\in\mathbb{N} и \exists f^{(n)}(x_0). Тогда справедлива формула (1), в которой r_n(f,x)~=~o((x-x_0)^n) при x \to x_0.

Доказательство: будем проводить по индукции:

При n=1 утверждение теоремы верно. В самом деле, в этом случае f дифференцируема в точке x_0. Следовательно,


f(x)-f(x_0)~=~f'(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0).

Что совпадает с условием теоремы.

Предположим, что утверждение теоремы верно при n-1 (n\geqslant 1) и покажем, что это верно и для n.

Использую теорему Лагранжа о конечных приращениях и лемму, имеем (считая для определенности x > x_0):


r_n(f,x)~=~r_n(f,x)-r_n(f,x_0)~=~r_{n-1}(f',\xi)(x-x_0),

где x_0<\xi<x.

По предположению индукции r_{n-1}(f',\xi)~=~o((\xi-x_0)^{n-1}) при \xi \rightarrow x_0. Следовательно,

r_n(f,x)~=~o((x-x_0)^n) при x\to x_0.

что и требовалось показать.



О.В Бесов Лекции по математическому анализу.Часть 1. стр.89.


Система Orphus

Комментарии