Система Orphus

Система Orphus

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, их свойства.



Математическим ожиданием случайной величины \xi, заданной на вероятностном пространстве (\Omega, \mathfrak{A}, P), называется число

M\xi=\int\limits_{\Omega}\xi(\omega)P(d\omega)

если интеграл Лебега в правой части равенства существует.


Математическим ожиданием M\xi случайной величины \xi=\xi(\omega_k), заданной на дискретном вероятностном пространстве с \Omega=\{\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_n,\cdots\},~P(\omega_k)=p_k,~k=1,\cdots,n,\cdots, называется число

M\xi=\sum^{\infty}_{k=1}\xi(\omega_k)p_k,

если ряд абсолютно сходится.

Если же ряд не сходится абсолютно, то говорят, что математическое ожидание случайной величины \xi не существует.


Математическое ожидание M\xi случайной величины \xi=\xi(u_1, u_2, ... , u_n), заданной на абсолютно непрерывном вероятноствном пространстве (\Omega, \mathfrak{A}, P), называется число

\int\cdots\int\limits_{\Omega}\xi(u_1,\cdots,u_n)\pi(u_1,\cdots,u_n)du_1\cdots du_n,

если интеграл абсолютно сходится.

Если интеграл не сходится абсолютно, то говорят, что математическое ожидание случайной величины \xi не существует.


В.П. Чистяков Курс теории вероятностей стр.92-93


Свойства математического ожидания.

1. Если C - постоянная, то MC=C.

2. Если C - постоянная, то M(C\xi)=CM\xi.

3. Для любых величин \xi

|M\xi|\leqslant M|\xi|.

4. Для любых случайных величин \xi_1 и \xi_2

M(\xi_1+\xi_2)=M\xi_1+M\xi_2.

Если существует какие-нибудь два из входящих в равенство математических ожиданий, то существует третье математическое ожидание.

5. Если случайные величины \xi_1 и \xi_2 независимы, то M\xi_1\xi_2=M\xi_1 M\xi_2. Из существования любых двух математических ожиданий следует существование третьего математического ожидания.


В.П. Чистяков Курс теории вероятностей стр.98


Дисперсией D\xi случайной величины \xi называется число

D\xi=(M|\xi-M\xi|^2),

если математическое ожидание в правой части существует.

Величина \sqrt{D\xi} называется средним квадратическим отклонением

Свойства дисперсии:

1. Для любой случайной величины \xi имеем D\xi\geqslant 0.

2. Если c - постоянная, то D(c)=0.

3. Если c постоянная, то D(c\xi)=c^2D\xi.

4. Если случайные велины \xi_1 и \xi_2 независимы, то

D(\xi_1+\xi_2)=D\xi_1+D\xi_2.

Система Orphus

Комментарии