Система Orphus

Система Orphus

Предельная теорема Пуассона.

Если n\to\infty и p\to 0 так, что np\to\lambda, 0<\lambda<\infty, то

P(\mu_n=m)=C^m p^m q^{n-m}\to p_m(\lambda)=\frac{\lambda^m}{m!}e^{-\lambda}

при любом постоянном m,~m=1,2,\cdots.

Доказательство.

Положив np=\lambda_n, представим вероятность P(\mu_n=m) в виде

P(\mu_n=m)=\frac{n(n-1)\cdots(n-m+1)}{m!}\left(\frac{\lambda_n}{n}\right)^m\left(1-\frac{\lambda_n}{n}\right)^{n-m}=
=\frac{\lambda_n^m}{m!}\left(1-\frac{\lambda_n}{n}\right)^n\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{m-1}{n}\right)\left(1-\frac{\lambda_n}{n}\right)^{-m}.

Отсюда при n\to \infty получим утверждение теоремы.


Система Orphus

Комментарии