Система Orphus

Система Orphus

Дифференцируемость функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана.

Определение. Говорят, что функция f~:~B_r(z_0)\to\mathbb{C} дифференцируема в точке z_0\in\mathbb{C}, если справедливо представление

\Delta f=A\cdot\Delta z+\alpha(\Delta z),~\forall~\Delta z~:~0<|\Delta z|<r,~~~~~~(5)

где A не зависит от \Delta z, а функция \alpha(\Delta z) является o(\Delta z).

Лемма 1. Функция f~:~B_r(z_0)\to\mathbb{C} дифференцируема в точке z_0 тогда и только тогда, когда существует производная ~f'(z_0), причем в формуле число A~=~f'(z_0).

Доказательство. Распишем определение 1 через действительные и мнимые компоненты чисел и получим утверждение леммы 1.

Теорема 1. Для того, чтобы функция f~:~B_r(z_0)\to\mathbb{C} была дифференцируема в точке z_0=x_0+iy_0\in\mathbb{C}, необходимо и достаточно, чтобы

1) функции u(x,y) и v(x,y) были дифференцируемы в точке (x_0,y_0)\in\mathbb{R}^2.

2) в точке (x_0,y_0) были выполнены условия Коши-Римана

\frac{\partial u}{\partial x}(x_0,y_0)=\frac{\partial v}{\partial y}(x_0,y_0),~~~~ \frac{\partial u}{\partial y}(x_0,y_0)=-\frac{\partial v}{\partial x}(x_0,y_0).~~~~(6)

При этом

f'(z_0)=\frac{\partial u}{\partial x}(x_0,y_0)+i\frac{\partial v}{\partial x}(x_0,y_0)=\frac{\partial v}{\partial y}(x_0,y_0)-i\frac{\partial u}{\partial y}(x_0,y_0)

Доказательство. Пусть существует производная f'(z_0), т.е. справедливы выражения

\lim_{\Delta z\to 0}\frac{\alpha(\Delta z)}{\Delta z}=0,~~~\Delta f=A\cdot \Delta z +\alpha(\Delta z),~~~\forall~\Delta z~:~0<|\Delta z|<r,

где A~=~f'(z_0).

Обозначим A=a+ib,~\alpha(\Delta z)=\alpha_1(\Delta x,\Delta y)+i\alpha_2(\Delta x,\Delta y) и распишем (5) через равенства действительных и мнимых частей, т.е.

\Delta u=a\Delta x-b\Delta y+\alpha_1(\Delta x,\Delta y),
\Delta v=b\Delta x+a\Delta y+\alpha_2(\Delta x,\Delta y),

Из выражения (4) и того, что |\alpha_1|\leqslant |\alpha| и |\alpha_2|\leqslant |\alpha|, т.е.

\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}\frac{\alpha_1(\Delta x,\Delta y)}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}=\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}\frac{\alpha_2(\Delta x,\Delta y)}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}=0,~~~~~(9)

Откуда равенства (8) означают дифференцируемость по определению функции u(x,y) и v(x,y) в точке (x_0,y_0)\in \mathbb{R}^2, причем

\frac{\partial u}{\partial x}(x_0,y_0)=a,~~\frac{\partial u}{\partial y}(x_0,y_0)=-b
\frac{\partial v}{\partial x}(x_0,y_0)=b,~~\frac{\partial v}{\partial y}(x_0,y_0)=a

убеждаемся в выполнении условий Коши-Римана.

Достаточность. Пусть функции u(x_0,y_0),v(x_0,y_0) дифференцируемы в точке (x_0,y_0) и выполнены условия Коши - Римана.

Тогда

\Delta f~=~\Delta u+i\Delta v=
=\frac{\partial u}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial u}{\partial y}\Delta y+\alpha_1(\Delta x,\Delta y)+i\left(\frac{\partial v}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial v}{\partial y}\Delta y+\alpha_2(\Delta x,\Delta y)\right)=
=\left(\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}\right)(\Delta x+i\Delta y)+ \alpha_1(\Delta x,\Delta y) +i\alpha_2(\Delta x,\Delta y)=A\cdot\Delta z+\alpha(\Delta z)

Получаем утверждение теоремы.


Половинкин Е.С. Курс лекций по теории функции комплексного переменного. стр.19.


Система Orphus

Комментарии