Система Orphus

Система Orphus

Интегральная теорема Коши.

Теорема. Пусть функция f(z) дифференцируема в односвязной области D и её производная непрерывна в D. Тогда интеграл от f(z) по любой замкнутой кривой \gamma, лежащей в области D, равен нулю:

\int\limits_{\gamma}f(z)dz=0.

Доказательство. Если f(z)=u(x,y)+iv(x,y), то по формуле

\int\limits_{\gamma}f(z)dz=\int\limits_{\gamma}udx-vdy+i\int\limits_{\gamma}vdx+udy

имеем

\int\limits_{\gamma}f(z)dz=J_1+iJ_2,

где

J_1=\int\limits_{\gamma}udx-vdy,~~J_2=\int\limits_{\gamma}vdx+udy.

Так как функция f(z) имеет непрерывную производную в области D, то частные производные первого порядка функции u,v непрерывны в области D и выполняется условия Коши-Римана

\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},~~\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}

В силу применимости формулы Грина следует, что J_1=J_2=0. Таким образом

\int\limits_{\gamma}f(z)dz=J_1+iJ_2=0


Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функции комплексного переменного стр.75


Система Orphus

Комментарии