Система Orphus

Система Orphus

Исследование функций одной переменной при помощи первой и второй производных на монотонность, локальные экстремумы, выпуклость. Необходимые условия, достаточные условия.

Теорема1

Пусть f дифференцируема на (a, b). Тогда

1. условие f' \geqslant 0 (f' \leqslant 0) на (a, b ) необходимо и достаточно для того, чтобы функция f возрастала (убывала) на (a, b);

2. условие  f' > 0 (f' < 0) на (a, b) достаточно, чтобы функция f строго возрастала (строго убывала) на (a,b).

Доказательство:

Достаточность следует из формулы конечных приращений Лагранжа


f(x_2)-f(x_1)~=~f'(\xi)(x_2-x_1), a < x_1 < \xi < x_2 < b.

Необходимость. Пусть f возрастает на (a,b), x_0, x \in (a,b). Тогда \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \ge 0. Следовательно, f'(x_0)\ge 0.
Замечание: условие f' > 0 не является необходимым. Пример: f(x)=x^3, x \in (-1,1)

Теорема 2. Ферма.

Пусть x_0 - точка экстремума функции f. Тогда производная f'(x_0) либо не существует, либо f'(x_0)=0.

Доказательство:

Пусть для определенности f(x_0)~=~\min f. Тогда \frac{\Delta f}{\Delta x}\ge 0 при \Delta x > 0 и \frac{\Delta f}{\Delta x}\le 0 при \Delta x < 0. Переходя в этих неравенствах к пределу при \Delta x \to 0, получаем соответственно f'(x_0)\geqslant 0, f'(x_0)\leqslant 0. Отсюда следует, что f'(x_0)=0.


О.В Бесов Лекции по математическому анализу.Часть 1.стр.86.

Теорема 3.(достаточное условие строгого экстремума)

Пусть f непрерывна в точке x_0 и дифференцируема на \overset{o}{U}(x_0). Пусть ~f' меняет знак при переходе через точку x_0. Тогда x_0 - точка строгого экстремума.


Доказательство:

Пусть для определенности f'>0 на U(x_0+0). Тогда из формулы конечных приращений Лагранжа f(x)-f(x_0)= f'(\xi)(x-x_0) видно, что приращение функции f не меняет знак с "-" на "+" при переходе через точку x_0. Следовательно, x_0 - точка строгого минимума.

Замечание: условия теоремы не являются необходимыми. Пример: f(x)=2x^2 + x^2 \sin(x^{-1}), x\ne 0; f(x)=0, x=0

Теорема 4.

Пусть f'(x_0)=...=f^{(n-1)}(x_0)=0, f^{(n)}(x_0)\ne 0. Тогда

1. при четном n=2k, x_0 - точка строгого экстремума (строго максимума) при f^{(2k)}(x_0)~<~0 (при f^{(2k)}(x_0)~>~0);

2. при нечетном n=2k+1, x_0 - точка возрастания (точка убывания) при f^{(2k+1)}(x_0)~>~0 (при f^{(2k+1)}(x_0)~<~0).

Теорема 1 (условие выпуклости функций).

Пусть функция f имеет вторую производную f'' на (a,b). Тогда

1 условие f'' \leqslant 0 на (a,b) необходимо и достаточно для выпуклости вверх функции f на (a,b);

2 если f'' < 0 на (a,b), то функция f строго выпукла вверх на (a,b).

Доказательство:
Достаточность: При a< \alpha <x < \beta < b имеем, условие выпуклости вверх


f(x)-l(\alpha,\beta)(x)=\frac{\beta-x}{\beta-\alpha}(f(x)-f(\alpha))+\frac{x-\alpha}{\beta-\alpha}(f(x)-f(\beta))\ge0

а используя формулу конечных приращений Лагранжа


f(x)-l(\alpha,\beta)(x)=\frac{(\beta-x)f'(\xi)(x-a)+(x-\alpha)f'(\eta)(x-\beta)}{\beta-\alpha}=\frac{(x-\alpha)(\beta-x)f''(\zeta)(\xi-\eta)}{\beta-\alpha}\ge0 (>0
при f''(\xi)<0), a< \alpha < \xi < \zeta < \eta <\beta <b.

Теорема 2 (необходимые условия точки перегиба).

Пусть x_0 - точка перегиба функции и f'' непрерывна в точке x_0. Тогда f''(x_0)=0.
Доказательство:
от противного
Допустим, что f''(x_0) \ne 0 и для определенности f''(x_0)>0. Тогда f''(x)>0 в некоторой окрестности U(x_0). Значит точка x_0 находится внутри интервала U(x) строгой выпуклости вниз и не может быть точкой перегиба.

Теорема 3 (достаточные условия точки перегиба).

Пусть \exists f'(x_0), а f'' меняет знак при переходе через точку x_0.

Тогда x_0 - точка перегиба.
Доказательства:
сводится к проверке определения точки перегиба с помощью теоремы о достаточных условиях строгой выпуклости функции.

Теорема 4 (о расположении кривой относительно касательной).

1 Если f''(x_0) > 0 (f''(x_0) < 0), то \exists U (x_0): кривая y=f(x) лежит строго выше (строго ниже) касательной y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0) при x \in \overset{o}{U}(x_0).

2 Если f''(x_0)=0, f'''(x_0)\ne 0, то \exists U(x_0): кривая y=f(x) переходит через касательную, т.е. при x < x_0 и x > x_0 (x \in \overset{o}{U}(x_0)) лежит строго по разные стороны от касательной.


Система Orphus

Комментарии