Система Orphus

Система Orphus

Разложение функции, регулярной в окрестности точки, в ряд Тейлора.

Если функция f регулярна в круге B_{r}(a), где a\in\mathbb{C},~r>0, то она представима в этом круге B_r(a) в виде суммы сходящегося ряда Тейлора, т.е.

f(z)=\sum^{\infty}_{n=0}c_n(z-a)^n,~~\forall z\in B_r(a),

где

c_n=\frac{f^{(n)}(a)}{n!}.

Доказательство.

Фиксируем произвольную точку z\in B_r(a). Тогда существует число r_1>0 такое, что |z-a|<r_1<r. Пусть \gamma_{r_1}=\{\zeta~:~|\zeta-a|=r_1\} - ориентированная движением против хода часовой стрелки. Запишем интегральную формулу Коши:

f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\gamma_{r_1}}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta.

Преобразуем функцию \zeta\to\frac{1}{\zeta-z}, где \zeta\in\gamma_{r_1}, к виду

\frac{1}{\zeta-z}=\frac{1}{(\zeta-a)-(z-a)}=\frac{1}{(\zeta-a)\left(1-\frac{z-a}{\zeta-a}\right)}

Получаем разложение в сходящийся ряд

\frac{1}{\zeta-z}=\frac{1}{\zeta-a}\left(1+\frac{z-a}{\zeta-a}+\left(\frac{z-a}{\zeta-a}\right)^2+\cdots\right)=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{(z-a)^n}{(\zeta-a)^{n+1}}

В итоге подинтегральная функция представима сходящимся на \gamma_{r_1} рядом

\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}=\sum^{\infty}_{n=0} \frac{(z-a)^n}{(\zeta-a)^{n+1}}f(\zeta),~~\forall\zeta\in\gamma_{r_1}.

Ряд сходится равномерно на окружности \gamma_{r_1}. Поэтому ряд можно почленно интегрировать по окружности \gamma_{r_1}. В результате получаем равенство

f(z)=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\gamma_{r_1}}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-a)^{n+1}d\zeta}\cdot (z-a)^n.

т.е. степенной ряд вида с коэффициентами

c_n=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\gamma_{r_1}}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-a)^{n+1}d\zeta}

Эти коэффициенты c_n не зависят от выбора точки z или окружности \gamma_{r_1}, так как воспользовавшись формулой для производной получаем для c_n необходимую формулу.


Половинкин Е.С. Курс лекций по теории функции комплексного переменного стр.48


Система Orphus

Комментарии