Система Orphus

Система Orphus

Разложение функции, регулярной в кольце в ряд Лорана.

Всякая функция \omega=f(z), регулярная в кольце \rho<|z-a|<R, где 0\leqslant \rho < R\leqslant +\infty, представима в этом кольце суммой сходящегося ряда Лорана

f(z)=\sum^{+\infty}_{n=-\infty}c_n(z-a)^n,

коэффициенты которого определяются по формулам

c_n=\frac{f(\zeta)}{(\zeta-a)^{n+1}}d\zeta, где r\in (\rho,R),~n\in\mathbb{Z},

причем ориентация окружности |\zeta-a|=r положительная.

Доказательство.

Покажем что каждый коэффициент c_n в формулу не зависит от выбора r\in(\rho,R). Функция \frac{f(\zeta)}{(\zeta-a)^{n+1}} регулярна в кольце \rho<|\zeta-a|<R. Для любых чисел r_1,r_2:~\rho<r_1<r_2<R определим окружности \gamma_{r_1},\gamma_{r_2}. По обобщенной теореме Коши получаем равенство

\int\limits_{\gamma_2}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-a)^{n+1}}=\int\limits_{\gamma_1}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-a)^{n+1}}

что и требовалось для доказательства независимости интеграла от выбора r\in(\rho,R) при каждом n\in\mathbb{Z}.

Зафиксируем произвольную точку z_0 в кольце \rho<|z-a|<R. Выберем числа r_1,r_2 такие, что \rho<r_1<|z_0-a|<r_2<R, и окружности \gamma_{r_1},\gamma_{r_2} ориентированные положительно. Тогда контур \Gamma=\gamma_2\cup\gamma_1^{-1}, является границей кольца r_1<|z-a|<r_2, в котором по интегральной формуле Коши получаем

f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\Gamma}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z_0}d\zeta=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\gamma_2}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z_0}d\zeta-\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\gamma_1}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z_0}d\zeta=I_2-I_1.

Рассмотрим интеграл I_2. Повторяя рассуждения для вывода формулы Тейлора получаем

I_2=\sum^{\infty}_{n=0}c_n(z_0-a)^n

где

c_n=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\gamma_2}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-a)^{n+1}}d\zeta,~~n=0,1,2,\cdots

Рассмотрим интеграл I_1. Представим -\frac{1}{\zeta-z_0} в виде ряда

-\frac{1}{\zeta-z_0}=\frac{1}{(z_0-a)\left(1-\frac{\zeta-a}{z_0-a}\right)}=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{(\zeta-a)^n}{(z_0-a)^{n+1}}

По признаку Вейерштрасса ряд сходится равномерно , его можно почленно интегрировать, получаем

I_1=\sum^{\infty}_{n=0}\left(\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\gamma_1}f(\zeta)(\zeta-a)^n d\zeta\right)\frac{1}{(z_0-a)^{n+1}}

Заменяя в формуле номера (n+1) на (-m) получаем равенство

I_1=\sum^{-1}_{m=-\infty}c_m(z_0-a)^m,

где

c_m=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\gamma_1}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-a)^{m+1}}d\zeta,~~~m=-1,-2,\cdots

Так как точка z_0 была выбрана в данном кольце произвольно, то складывая ряды получаем ряд Лорана.


Система Orphus

Комментарии