Система Orphus

Система Orphus

Вычеты.

Определение 1. Пусть a\in\mathbb{C} - изолированная особая точка регулярной функции f~:~\overset{o}{B}_{\rho}(a)\to\mathbb{C},~\rho>0. Пусть \gamma_r=\{z~:~|z-a|=r\} - положительно ориетированная окружность, причем 0<r<\rho. Тогда вычетом функции f в точке a называется число

\underset{a}{\mathrm{res}}f=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\gamma_r}f(z)dz~~~(1)

Для получения более удобных выражений вычисления вычета функции, представим функцию f~:~\underset{o}{B}_{\rho}\to\mathbb{C} её рядом Лорана с центром в точке a

f(z)=\sum^{+\infty}_{n=-\infty}c_n(z-a)^{n}.

Получаем, что интеграл (1) равен коэффициенту c_{-1}.


Определение 2. Пусть функция f~:~\overset{o}B_{R_0}(\infty)\to\mathbb{C} регулярна. Тогда вычетом функции f в бесконечности называется число

\underset{\infty}{\mathrm{res}}f=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\gamma_{R^{-1}}}f(z)dz

Удобно записывать в виде

\underset{\infty}{\mathrm{res}}f=-c_{-1}

Лемма 1. Пусть a - полюс функции f порядка m\leqslant m_0. Тогда справедлива формула

\underset{a}{\mathrm{res}}f=\frac{1}{(m_0-1)!}\lim_{z\to a}\frac{d^{m_0-1}}{dz^{m_0-1}}[(z-a)^{m_0}f(z)]

Половинкин Е.С. Курс лекций по теории функции комплексного переменного.стр.75.


Система Orphus

Комментарии