Система Orphus

Система Orphus

Вычисление интегралов по замкнутому контуру при помощи вычетов.

Пусть дана область G\subset\bar{\mathbb{C}} с кусочно-гладкой положительно ориетированной границей \Gamma. Пусть функция f определена и регулярна на G всюду, за исключением конечного числа изолированных особых точек a_1,\ldots,a_n\in G и пусть к тому же функция f непрерывно продолжима на границу области G. Тогда справедлива формула

\int\limits_{\Gamma}f(z)dz=2\pi i\sum^{n}_{k=1}\underset{a_k}{\mathrm{res}}f.

Доказательство.

Пусть область G ограничена. Так как число особых точек a_1,\cdots,a_n\in \mathbb{C} конечно, то существует число r>0 такое, что B_r(a_k)\subset G~~\forall k\in\overline{1,n}, причем замыкание этих кругов попарно не пересекаются. Определим множество \tilde{G}=G\setminus\left(\bigcup^{n}_{k=1}\overline{B_r(a_k)}\right).

Множество \tilde{G} тоже является областью с кусочно-гладкой границей \tilde{\Gamma}=\Gamma\cup(\bigcup^{n}_{k=1}\gamma_k^{-1}), где \gamma_k суть окружности |z~:~|z-a_k|=r|, ориентированные по ходу часовой стрелки. Получили, что f регулярна на \tilde{G} и непрерывна на \bar{\tilde{G}}=\tilde{G}\cup\tilde{\Gamma}. Тогда получаем


0=\int\limits_{\bar{\Gamma}}f(z)dz=\int\limits_{\Gamma}f(z)dz-\sum^{n}_{k=1}\int\limits_{\gamma_k}f(z)dz=\int\limits_{\Gamma}f(z)dz-\sum^{n}_{k=1}2\pi i~\underset{a_k}{\mathrm{res}}f

что и дает формулу 14.


Половинкин Е.С. Курс лекций по теории функции комплексного переменного стр.78


Система Orphus

Комментарии