Система Orphus

Система Orphus

Теорема о равномерной непрерывности функции непрерывной на компакте.

Теорема (Кантор). Пусть E \subset \mathbb{R}^n - компакт , и функция f непрерывна на E. Тогда f равномерно непрерывна на E.

Доказательство. Предположим, что теорема не верна, т.е. что существует функция f, непрерывная, но не равномерно непрерывная на E. Тогда

\exists \varepsilon_0 \geqslant 0 ~\forall \delta > 0 ~\exists x,y \in E ~:~ |x-y|<\delta, |f(x)-f(y)|\geqslant \varepsilon_0.

Будем брать в качестве \delta_m=\frac{1}{m} и соответствующую пару точек x,y обозначать через x^{(m)}, y^{(m)}.

Тогда имеем

x^{(m)}, y^{(m)} \in E,~|x^{(m)}-y^{(m)}|<\frac{1}{m},

|f(x^{(m)})-f(y^{(m)})|\geqslant \varepsilon_0>0

Выделим из последовательности \{x^{(m)}\} сходящуюся подпоследовательность \{x^{(m_k)}\}^{\infty}_{k=1}, \lim_{k \to \infty} x^{(m_k)}=x^{(0)}, что возможно в силу ограниченности \{x^{(m)}\} по теореме Больцано-Вейерштрасса. Тогда из |x^{(m)}-y^{(m)}|<\frac{1}{m} следует, что \lim_{k \to \infty} y^{(m_k)} = x^{(0)}. Точка x^{(0)} \in E, так как E замкнуто. В силу непрерывности f в точке x^{(0)} по множеству E имеем


f(x^{(m_k)}) \to f(x^{(0)}), f(y^{(m_k)}) \to f(x^{(0)})
при k \to \infty

а это противоречит тому, что


|f(x^{(m_k)})-f(y^{(m_k)})| \ge \varepsilon_0 >0 ~\forall k \in \N.

Теорема доказана


Система Orphus

Комментарии