Система Orphus

Система Orphus

Достаточные условия дифференцируемости функции нескольких переменных.

Теорема. Пусть в точке x^{(0)} непрерывны все частные производные

\frac{\partial f}{\partial x_i}~(i=1,...,n)

функции f. Тогда f дифференцируема в точке x^{(0)}.


Доказательство ради простоты записи проведем для случая функции двух переменных (n=2). Непрерывность частных производных функции в точке (x_0,y_0)\in \mathbb{R}^2 включает предположение об их существовании в некоторой окрестности U_\delta((x_0,y_0)).

Считая (\Delta x)^2+(\Delta y)^2<\delta^2, рассмотрим приращение функции

\Delta f(x_0,y_0)~=~f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)=


=~[f(x_0+\Delta x, y+\Delta y)-f(x_0,y_0+\Delta y)]+[f(x_0, y+\Delta y)-f(x_0, y)].

Правая часть представляет собой сумму приращений функции по одной переменной при фиксированной другой. Применяя по соответствующей переменной теорему Лагранжа о конечных приращениях, имеем

\Delta f(x_0, y_0)=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0+\theta_1\Delta x, y_0+\Delta y)\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0+\theta_2\Delta y)\Delta y.

Но производные \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} непрерывны в точке (x_0, y_0). Поэтому

\frac{\partial f}{\partial x}(x_0+\theta_1\Delta x,y_0+\Delta y)=\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)+\varepsilon_1(\Delta x, \Delta y),

\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0+\theta_2\Delta y)=\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)+\varepsilon_2(\Delta x, \Delta y),

где \varepsilon_1,\varepsilon_2\to 0 при (\Delta x, \Delta y)\to(0,0). Подставляя полученные выражения в \Delta f(x_0,y_0) имеем

\Delta f(x_0,y_0)=\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)\Delta y+\varepsilon_1(\Delta x, \Delta y)\Delta x+\varepsilon_2(\Delta x, \Delta y)\Delta y.

Справедливо

\varepsilon_1(\Delta x, \Delta y)\Delta x+\varepsilon_2(\Delta x, \Delta y)\Delta y=o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})

Следовательно функция f дифференцируема в точке (x_0, y_0).


О.В Бесов Лекции по математическому анализу.Часть 1. стр.171.


Система Orphus

Комментарии