Система Orphus

Система Orphus

Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимые условия, достаточные условия.

Определение. Пусть функция f определена на некоторой окрестности точки x^{(0)}. Точка x^{(0)} называется точкой минимума функции f, если


\exists U(x^{(0)})~:~f(x^{(0)})\le f(x) ~\forall x \in \dot{U}(x^{(0)}).


Необходимые условия экстремума. Пусть функция f имеет в точке экстремума x^{(0)} частную производную \frac{\partial f}{\partial x_i}(x^{(0)}). Тогда \frac{\partial f}{\partial x_i}(x^{(0)})=0.

Доказательство. Пусть для определенности i=1. Рассмотрим функцию \varphi одной переменной x_1 \varphi (x_1)=f(x_1,x_2^{(0)},...,x_n^{(0)}). Она имеет экстремум в точке x_1^{(0)}. Тогда по теореме Ферма


0=\varphi '(x_1^{(0)})=\frac{\partial f}{\partial x_1} (x^{(0)})
.


Определение. Точка x^{(0)} называется стационарной точкой функции f, если f дифференцируема в точке x^{(0)} и df(x^{(0)})~=~0.


Лемма: Пусть квадратичная форма A(\xi)=\sum_{i,j=1}^{n} a_{ij} \xi_i \xi_j (1) положительно определенна. Тогда при некотором \mu>0


A(\xi)\ge\mu|\xi|^2, \forall\xi\in\R^n(2)

Доказательство. При |\xi|=0 (2) - очевидно. При |\xi|>0, деля обе части (2) на |\xi|^2 и полагая \eta=\frac{\xi}{|\xi|}, сводим доказательство (2) к доказательству неравенства


\mu=\min A(\eta)>0, \eta\in\R^n |\eta|=1

Последнее вытекает из теоремы Вейерштрасса, утверждающей, что непрерывная функция (A(\eta)) на компакте достигает своего наименьшего значения в некоторой точке \eta^*


Достаточные условия строгого экстремума. Пусть функция f дважды непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности стационарной точки x^{(0)} \in \R^n.


Пусть второй дифференциал d^2f(x^{(0)}) функции f в точке x^{(0)}


d^2f(x^{(0)}) = \sum^{n}_{i,j=1} \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} (x^{(0)})dx_i dx_j (3)

является положительно определенной (отрицательно) квадратичной формой. Тогда x^{(0)} - точка строгого минимума (максимума) функции f.
Если же квадратичная форма d^2f(x^{(0)}) является неопределенной, то в точке x^{(0)} нет экстремума.

Доказательство.Напишем разложение функции f по формуле Тейлора в окрестности стационарной точки x^{(0)} с остаточным членом в форме Пеано:


\triangle f(x^{(0)}) = f(x^{(0)} + \triangle x)-f(x^{(0)})=\frac{1}{2} \sum^{n}_{i,j=1} \frac{\partial^2 f(x^{(0)})}{\partial x_i \partial x_j} \triangle x_i \triangle x_j + \varepsilon (\triangle x)|\triangle x|, \varepsilon (\triangle x) \xrightarrow  [\triangle x \rightarrow \vec{0}]{} 0

Члены с первыми производными отсутствуют, так как x^{(0)} - стационарная точка. Запишем последнюю формулу в виде


\triangle f(x^{(0)})=\frac{1}{2} \left [ \sum^{n}_{i,j=1} \frac{\partial^2 f(x^{(0)})}{\partial x_i \partial x_j} \frac{\triangle x_i}{|\triangle x|} \frac{\triangle x_j}{|\triangle x|} + \varepsilon (\triangle x)\right ]|\triangle x|^2
(4)

Пусть сначала d^2f(x^{(0)}) (3) - положительно определенная форма. Тогда из (4) и (2) следует, что


\triangle f(x^{(0)})\ge \left [\frac{1}{2}\mu+\varepsilon(\triangle x) \right ] |\triangle x|^2, \mu>0.

Поскольку \varepsilon(\triangle x) \xrightarrow{\triangle x\rightarrow \vec{0}} 0 , то \exists \delta >0 :

|\varepsilon(\triangle x)|<\frac{\mu}{4}, \forall x: 0<|\triangle x|<\delta

\Rightarrow \triangle f(x^{(0)})\ge \frac{\mu}{4}|\triangle x|^2>0, \forall x: 0<|\triangle x|<\delta

Последнее значит, что x^{(0)} - точка строгого минимума функции f. Аналогично для отрицательно определенной формы.

Пусть теперь d^2f(x^{(0)}) (3) - неопределенная квадратичная форма. Значит \exists\xi'\xi''\in\R^n такие, что A(\xi')<0,A(\xi'')>0. Полагая \eta'=\frac{\xi'}{|\xi'|}, \eta''=\frac{\xi''}{|\xi''|}, получаем, что


\alpha=A(\eta')<0, \beta=A(\eta'')>0, |\eta'|=1 |\eta''|=1

Пусть \triangle x=t\eta', |\triangle x|=t (t>0). Тогда из (4)


f(x^{(0)}+\triangle x)-f(x^{(0)})=\left [ \frac{1}{2}\alpha+\varepsilon(t\eta') \right ] t^2\le \frac{\alpha}{4}t^2<0

при всех достаточно малых t=|\triangle x|.
Если же взять \triangle x=t\eta'', (t>0), то


f(x^{(0)}+\triangle x)-f(x^{(0)})=\left [ \frac{1}{2}\beta+\varepsilon(t\eta'') \right ] t^2\ge \frac{\beta}{4}t^2>0

Видно, что при любой сколь угодно малой окрестности U(x^{(0)}) разность f(x)-f(x^{(0)}), x\in U(x^{(0)}), принимает как отрицательные, так и положительные значения. Следовательно, точка x^{(0)} не является точкой экстремума функции f.


Система Orphus

Комментарии