Система Orphus

Система Orphus

Формулы Грина для оператора Лапласа.

Пусть D - ограниченная область в \mathbb{R}^n с кусочно гладкой границей \partial D, обозначим: n - внешняя единичня нормаль к \partial D

Теорема 4 (первая формула Грина).

Если функции u(x) и v(x) принадлежат классам C^1(\bar{D}) и C^2(D)\cap C^1(\bar{D}) соответственно, то выполняется равенство

\int\limits_{D}u\Delta vdx=-\int\limits_{D}\sum^{n}_{i=1}\frac{\partial u}{\partial x^i}\frac{\partial v}{\partial x^i}dx+\int\limits_{\partial D}u\frac{\partial v}{\partial n}ds

Доказательство теоремы 4. Рассмотрим произвольную область \tilde{D} с кусочно гладкой границей \partial\tilde{D} такую, что \bar{\tilde{D}}\subset D. Запишем для векторной функции P=u\mathrm{grad} v и в области \tilde{D} формулу Остроградского-Гаусса:

\int\limits_{D}\mathrm{div} Pdx=\int\limits_{\partial D}\sum^{n}_{i=1}P^{i}n^{i}ds

Учтем, что \mathrm{div}P=u\Delta v+\sum^{n}_{i=1}\frac{\partial u}{\partial x^i}\frac{\partial v}{\partial x^i} и \sum^{n}_{i=1}\frac{\partial v}{\partial x^{i}}n^{i}=\frac{\partial v}{\partial n}. Получаем

\int\limits_{D}u\Delta vdx=-\int\limits_{D}\sum^{n}_{i=1}\frac{\partial u}{\partial x^i}\frac{\partial v}{\partial x^i}dx+\int\limits_{\partial D}u\frac{\partial v}{\partial n}ds

Все подынтегральные функции в последнем равенстве по условию интегрируемы в области D, что позволяет сделать предельный переход, устремляя \tilde{D} к D.

Теорема 5 (вторая формула Грина).

Если функции u(x) и v(x) принадлежат классу C^2(D)\cap C^1(\bar{D}), причем \Delta u, \Delta v \in L_1(D), то справедлива формула

\int\limits_{D}(u\Delta v-v\Delta u)dx=\int\limits_{\partial D}\left(u\frac{\partial v}{\partial n}-v\frac{\partial u}{\partial n}\right)ds.

Доказательство теоремы 5. Поменяем в первой формуле Грина местами функции u и v:

\int\limits_{D}v\Delta udx=-\int\limits_{D}\sum^{n}_{i=1}\frac{\partial u}{\partial x^i}\frac{\partial v}{\partial x^i}dx+\int\limits_{\partial D}v\frac{\partial u}{\partial n}ds

вычитая данное равенство из первого получаем вторую формулу Грина.

Теорема 6 (третья формула Грина).

Если функция u(x) принадлежит классу C^2(D)\cap C^1(\bar{D}),, причем \Delta u\in L_1(D), то справедлива формула

\int\limits_{D}u\Delta udx=-\int\limits_{D}\sum^{n}_{i=1}\left(\frac{\partial u}{\partial x^i}\right)^2dx+\int\limits_{\partial D}u\frac{\partial u}{\partial n}ds

Доказательство теоремы 6. Достаточно в первой формуле Грина положить v=u.


Система Orphus

Комментарии