Система Orphus

Система Orphus

Метод Фурье решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге.

Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Лапласа в круговой области D=\left\{x=(x^1,x^2):~|x|<R\right\}

\Delta u(x)=0,~~x\in D

с граничными условиями первого рода

u(x)=u_0(x),~~x\in \partial D

Необходимо найти решение u(x) из класса C^2(D)\cap C(\bar{D}).

Будем считать, что u_0\in C^1(\partial D)

Решение. Перейдем к полярным координатам (r,\varphi):

x=(r\cos\varphi,~r\sin\varphi),~~r\geqslant 0.

Получаем

r\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial}{\partial r}w(r,\varphi)\right)+\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2}w(r,\varphi)=0,~~r\in[0;R),
w(R,\varphi)=w_0(\varphi).

Здесь w(r,\varphi)=u(x(r,\varphi)),~w_0(\varphi)=u_0(x(R,\varphi)). Из гладкости функции u_0(x) вытекает, что функция w_0(\varphi) принадлежит классу C^1 и является 2\pi - периодической.

Будем искать решение w(r,\varphi), в виде функционального ряда

w(r,\varphi)\sim\sum_{\lambda}Z_{\lambda}(r)\Phi_\lambda(\varphi),

где \Phi_{\lambda}(\varphi) - 2\pi - периодичные собственные функции оператора -\frac{d^2}{d\varphi^2}, ортогональные друг другу.

Соответствующие линейно независимые собственные функции можно выбрать следующим образом:

\Phi_0(\varphi) для n=0,

\Phi_n(\varphi)=\cos n\varphi,~~\tilde{\Phi}_n(\varphi)=\sin n\varphi для n\in\mathbb{N}.

Таким образом, ищем решение задачи в виде ряда

w\sim\sum_{\lambda}Z_{\lambda}(r)\Phi_{\lambda}(\varphi)=Z_0(r)+\sum^{\infty}_{n=1}\left[Z_n(r)\cos n\varphi+\tilde{Z}_n(r)\sin n\varphi\right].

Из выше перечисленных свойств функции w_0(\varphi) следует, что её ряд Фурье по ортогональной системе \left\{1,\cos\varphi,\sin\varphi,\dots\right\} сходится равномерно к ней самой:

w_0(\varphi)=\sum_{\lambda}a_{\lambda}\Phi_{\lambda}(\varphi)\equiv a_0+\sum^{\infty}_{n=1}\left[a_n\cos n\varphi+b_n\sin n\varphi\right],

где a_0=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{0}^{2\pi}w_0(\varphi)d\varphi, a_n=\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{2\pi}w_0\cos n\varphi(\varphi)d\varphi и b_n=\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{2\pi}w_0\sin n\varphi(\varphi)d\varphi n\in \mathbb{N} - коэффициенты Фурье.

Формально подставим ряды в начальные соотношения, потребовав почленного выполнения получающихся равенств:

r^2 Z''_{\lambda}(r)+rZ'_{\lambda}(r)-\lambda^2 Z_{\lambda}(r)=0,
Z_{\lambda}=a_{\lambda}

Эти соотношения необходимо дополнить условиями

|Z_{\lambda}(0)|<\infty

которые вытекают из непрерывности решения u(x) в нуле.

Эти уравнения являются дифференциальными уравнениями Эйлера, поэтому существует решение вида Z_{\lambda}(r)=r^{\alpha}, \lambda=n^2. Подставляя в уравнение, получаем

\alpha(\alpha-1)+\alpha-n^2=0,

откуда \alpha=\pm n. Для \lambda=n^2>0, таким образом,найдено два линейно независимых решения: r^{n} и r^{-n}, так что общее решение имеет вид

Z_{\lambda}(r)=C_{\lambda,1}r^n+C_{\lambda,2}r^{-n},

где C_{\lambda,1},C_{\lambda,2} - постоянные.

Учитывая условия, получаем

Z_{\lambda}(r)=a_{\lambda}\left(\frac{r}{R}\right)^n,~~\lambda=n^2.

Следовательно

w\sim a_0+\sum^{\infty}_{n=1}\left(\frac{r}{R}\right)^n[a_n\cos n\varphi+b_n \sin n\varphi]


Система Orphus

Комментарии