Система Orphus

Система Orphus

Представление решений уравнения Пуассона через потенциалы простого и двойного слоя.

Потенциал простого слоя.

Предположим, что на поверхности S распределена с поверхностной плотностью \bar{\rho}(\varepsilon) некоторая масса (заряд). Потенциал поля, образованного рассматриваемым распределением массы(заряда), с точностью до множителя равен интегралу

\bar{U}(x)\equiv\iint\limits_{S}\frac{\bar{\rho}}{r}dS_{\varepsilon}~~(r\equiv|x-\varepsilon|)

получившему название потенциала простого слоя. Плотность \bar{\rho}(\varepsilon) называют плотностью простого слоя.

Потенциал двойного слоя.

Предположим теперь, что на поверхности S распределен слой диполей с осями,, направленными вдоль внешних нормалей n к поверхности S. Дипольный момент элемента dS_{\varepsilon} поверхности положим равным \hat{\rho}(\varepsilon)dS_{\varepsilon}. В силу формулы

U^{(1)}(x)=-p_1\frac{\partial}{\partial r_1}\left(\frac{1}{R}\right),

ньютоновский потенциал поля в точке x, образованного диполями на элементе dS_\varepsilon, равен \hat{\rho}\frac{d}{dn}\left(\frac{1}{r}\right), где r - расстояние между точками \varepsilon и x. Отсюда ясно, что потенциал поля, образованного рассматриваемым распределением диполей, может быть охарактеризован интегралом

\hat{U}(x)\equiv\iint_{S}\hat{\rho}\frac{d}{dn}\left(\frac{1}{r}\right)dS_{\varepsilon},

получившим название потенциала двойного слоя. Функцию \hat{\rho} называют плотностью двойного слоя.

Теорема.

Для любой непрерывной функции \varphi,~|x|=R, решение задачи

\Delta u=0,~~|x|<R,
u|_{|x|=R}=\varphi,

существует и задается формулой

u(x)=\int\limits_{|y|=R}P(x,y)\varphi(y)dS_y,~~|x|<R.

Доказательство.

Доказывать теорему будем в случае n=3. Прежде всего установим, что u(x)\in C^2(|x|<R) и является в шаре \{|x|<R\} гармонической функцией. Для этого ядро Пуассона представим в виде

P(x,y)=\frac{R^2-|(x-y)+y|^2}{4\pi R|x-y|^3}=\frac{R^2-|x-y|^2-|y|^2-2(x-y,y)}{4\pi R|x-y|^3}=
-\frac{1}{4\pi R|x-y|}-\frac{1}{2\pi R}\frac{(x-y,y)}{|x-y|^3},~|x|<R,~|y|=R.

так как для |y|=R,~|x|<R,

\frac{(x-y,y)}{|x-y|^3}=R\left(\mathcal{5}_y \frac{1}{|x-y|}, \frac{y}{R} \right)=R\frac{\partial}{\partial v_y}\left(\frac{1}{|x-y|}\right)

(ведь вектор y/R есть вектор внешней единичной нормали к сфере \{|y|=R\}), то

P(x,y)=-\frac{1}{4\pi R|x-y|}-\frac{1}{2\pi}\frac{\partial}{\partial v_y}\left(\frac{1}{|x-y|}\right),~|x|<R,~|y|=R

и, следовательно, формулу (4.32) можно переписать в виде

u(x)=-\frac{1}{4\pi R}\int\limits_{|y|=R}\frac{\varphi(y)}{|x-y|}dS_y-\frac{1}{2\pi}\int\limits_{|y|=R}\varphi(y)\frac{\partial}{\partial v_y}\left(\frac{1}{|x-y|}\right)dS_y,~~|x|<R.

последняя формула показывает, что функция u(x) является суммой потенциалов простого и двойного слоев.


v(x)=1/|x-\varepsilon| (если бы мы рассматривали случай n\ne 3, то в качестве v(x) следовало бы взять функцию 1/|x-\varepsilon|^{n-2} при n\ne 2 и \ln |x-\varepsilon| при n=2).


Система Orphus

Комментарии