Система Orphus

Система Orphus

Теорема о среднем для гармонических функций.

Для начала докажем вспомогательную лемму

Лемма 1.

Пусть D - ограниченная область в \mathbb{R}^n с кусочно гладкой границей, u(x) - гармоническая в D функция из класса C^1(\bar{D}). Тогда выполняется равенство

\int\limits_{\partial D}\frac{\partial u(\varepsilon)}{\partial n_{\varepsilon}}ds_{\varepsilon}=0

Физичекий смысл этой леммы очевиден: поток вектора напряженности электростатического поля через замкнутую поверхность, ограничивающую свободный от зарядов объем, равен нулю.

Доказательство леммы 1. Выпишем вторую формулу Грина для области D и функции u(x) и v(x)=1

\int\limits_{D}(vdu-udv)dx=0=\int\limits_{\partial D}\left(v\frac{\partial u}{\partial n}-u\frac{\partial v}{\partial n}\right)ds=\int\limits_{\partial D}\frac{\partial u}{\partial n}ds.

Теорема 1 (о среднем).

Пусть u(x) - гармоническая в шаре B_R функция из класса C^1(\bar{B_R}). Тогда справедлива следующая формула

u(x_0)=\frac{1}{C_{\partial B_R}}\int\limits_{\partial B_R}u(\varepsilon)ds_{\varepsilon} ,

где C_{\partial B_R}=\frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2)}R^{n-1} - плошадь сферы \partial B_R. В частности, для n=3

u(x_0)=\frac{1}{4\pi R^2}\iint\limits_{|\varepsilon-x_0|=R}u(\varepsilon)ds_{\varepsilon}

Доказательство теоремы 1. Как и раньше ограничемся рассмотрением случая n=3.

Для области B_R и функции u(x) воспользуемся интегральным представлением

u(x_0)=\frac{1}{4\pi}\left(\iint\limits_{|\varepsilon-x_0|=R}\frac{1}{|\varepsilon -x_0|}\frac{\partial u(\varepsilon)}{\partial n_\varepsilon}ds_\varepsilon- \iint\limits_{|\varepsilon-x_0|=R}u(\varepsilon)\frac{\partial}{\partial n_\varepsilon}\frac{1}{|\varepsilon-x_0|}ds_\varepsilon\right)

Найдем производную по нормали

\frac{\partial}{\partial n_{\varepsilon}}\frac{1}{|\varepsilon-x_0|}|_{\partial B_R}=\frac{\partial}{\partial r}\frac{1}{r}|_{r=R}=-\frac{1}{R^2}

Следовательно,

u(x_0)=\frac{1}{4\pi}\left(\frac{1}{R}\iint\limits_{|\varepsilon-x_0|=R}\frac{\partial u(\varepsilon)}{\partial n_{\varepsilon}}ds_\varepsilon+\frac{1}{R^2} \iint\limits_{|\varepsilon-x_0|=R}u(\varepsilon)ds_\varepsilon\right)=\frac{1}{4\pi R^2}\iint\limits_{|\varepsilon-x_0|=R}u(\varepsilon)ds_{\varepsilon}.


Система Orphus

Комментарии