Система Orphus

Система Orphus

Группы точек эллиптической кривой над множеством рациональных чисел и над конечными полями

Эллиптическая кривая над полем вещественных чисел

Эллиптическая кривая E над полем вещественных чисел \mathbb{R}:

E:~y^2=x^3+ax+b.

Сложение

Две точки P(x_1,y_1) и Q(x_2,y_2) эллиптической кривой, определенной над вещественным полем \mathbb{R} складываются по правилу:

P+Q=R\equiv(x_3,y_3),
x_3=\lambda^2-x_1-x_2,
y_3=-y_1+\lambda(x_1-x_3).

где

\lambda=\begin{cases}
\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1},~~P\ne Q,\\
\cfrac{3x_1^2+a}{2y_1}.~~P=Q.
\end{cases}

По определению сложение с противоположной точкой дает точку в бесконечности.

Все точки эллиптической кривой над вещественным полем вместе с точкой в бесконечности O образуют конечную группу \mathbb{E}(\mathbb{R}) относительно описанного закона сложения.

Эллиптическая кривая над конечным полем

Эллиптическая кривая E над конечным полем \mathbb{Z}_p:

E:~y^2=x^3+ax+b\pmod p.

Сложение

Две точки P(x_1,y_1) и Q(x_2,y_2) эллиптической кривой, определенной над конечным полем \mathbb{Z}_p складываются по правилу:

P+Q=R\equiv(x_3,y_3),
x_3=\lambda^2-x_1-x_2\pmod p,
y_3=-y_1+\lambda(x_1-x_3)\pmod p.

где

\lambda=\begin{cases}
\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\pmod p,~~P\ne Q,\\
\cfrac{3x_1^2+a}{2y_1}\pmod p.~~P=Q.
\end{cases}

По определению сложение с противоположной точкой дает точку в бесконечности O.

Множество точек эллиптической кривой над конечным полем вместе с точкой в бесконечности O образуют конечную группу \mathbb{E}(\mathbb{Z}_p) относительно описанного закона сложения.


Система Orphus

Комментарии