Система Orphus

Система Orphus

Координатное и импульсное представление в квантовой механике

Подобно тому как оператор \hat{\bold{p}} соответствует импульсу, определяя его собственные функции в координатном представлении, можно ввести оператор \hat{\bold{r}} координат частицы в импульсном представлении. Он должен быть определен так, чтобы среднее значение координат могло быть записано в виде

\bar{\bold{r}}=\int a^{*}(\bold{p})\hat{\bold{r}}a(\bold{p})\frac{d^3p}{(2\pi\hbar)^3}.~~~~~(15.11)

C другой стороны это же среднее значение определяется по волновой функции \psi(\bar{r}) выражением

\bar{\bold{r}}=\int \psi^{*}\bold{r}\psi dV

Подставив \psi(\bold{r}) в виде

\psi(\bold{r})=\int a(\bold{p})\psi_{\bold{p}}(\bold{r})\frac{d^3p}{(2\pi\hbar)^3}=\int a(\bold{p})e^{i\bold{p}\bold{r}/\hbar}\frac{d^3p}{(2\pi\hbar)^3}

и интегрируя по частям, имеем

\bold{r}\psi(\bold{r})=\int \bold{r}a(\bold{p})e^{i\bold{p}\bold{r}/\hbar}\frac{d^3p}{(2\pi\hbar)^3}=\int i\hbar e^{i\bold{p}\bold{r}/\hbar}\frac{\partial a(\bold{p})}{\partial\bold{p}}\frac{d^3p}{(2\pi\hbar)^3}

C помощью этого выражения и учитывая

a(\bold{p})=\int\psi(\bold{r})\psi^{*}_{p}(\bold{r})dV=\int\psi(\bold{r})e^{-i\bold{pr}/\hbar}dV,
находим
\bar{\bold{r}}=\int\int\psi^{*}(\bold{r})i\hbar\frac{\partial a(\bold{p})}{\partial\bold{p}}e^{i\bold{p}\bold{r}/\hbar}dV\frac{d^3p}{(2\pi\hbar)^3}\int i\hbar a^{*}(\bold{p})\frac{\partial a(\bold{p})}{\partial\bold{p}}\frac{d^3p}{(2\pi\hbar)^3}.

Сравнив с (15.11), мы видим, что оператор радиус-вектора в импульсном представлении имеет вид

\hat{\bold{r}}=i\hbar\frac{\partial}{\partial \bold{p}}.

Ландавшиц стр.69


Система Orphus

Комментарии