Система Orphus

Система Orphus

Оператор изменения во времени физической величины

Понятие о производной физической величины по времени не может быть определено в квантовой механике в том смысле, какой он имеет в классической механике. Действительно, определение производной в классической механике связано с рассмотрением значений величины в два близких, но различных моментах времени. Но в квантовой механике величина, имеющая в некоторый момент времени определенное значение, не имеет в следующие моменты вообще никакого определенного значения.

Поэтому понятие производной по времени должно быть определено в квантовой механике иным образом. Естественно определить производную \dot{f} от величины f как величину, среднее значение которой равно производной по времени от среднего значения \bar{f}. Таким образом, имеем, по определению,

\bar\dot f =\dot{\bar{f}}.

Исходя из этого определения, нетрудно получить выражение для квантовомеханического оператора \hat{\dot{f}}, соответствующего величине \dot{f}:

\begin{array}{l}\bar{\dot{f}}=\dot{\bar{f}}=\frac{d}{dt}\int \psi^{*}f\psi dq=\\
=\int\psi^{*}\frac{\partial \hat{f}}{\partial t}\psi dq+\int \frac{\partial \psi^{*}}{\partial t}\hat{f}\psi dq+\int \psi^{*}\hat{f}\frac{\partial \psi}{\partial t} dq\end{array}

Здесь \partial \hat{f}/\partial t - есть оператор, получающейся дифференцированием оператора \hat{f} по времени, от которого последний может зависеть как от параметра. Подставляя для производных \partial \psi/\partial t, \partial \psi^{*}/\partial t их выражения согласно

i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t}=\hat{H}\psi

получим

\bar{\dot{f}}=\int\psi^{*}\frac{\partial \hat{f}}{\partial t}\psi dq+\frac{i}{\hbar}\int\left(\hat{H}^{*}\psi^{*}\right)\hat{f}\psi dq- \frac{i}{\hbar}\int\psi^{*}\hat{f}\left(\hat{H}\psi\right) dq

Поскольку оператор \hat{H} эрмитов, то

\int\left(\hat{H}^{*}\psi^{*}\right)\left(\hat{f}\psi\right)dq=\int \psi^{*}\hat{H}\hat{f}\psi dq

Таким образом имеем

\bar{\dot{f}}=\int \psi^{*}\left(\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{i}{h}\hat{H}\hat{f}-\frac{i}{h}\hat{f}\hat{H}\right)\psi dq.

Поскольку, с другой стороны, должно быть, по определению средних значений, \bar{\dot{f}}=\int \psi^{*}\hat{\dot{f}}\psi dq, то отсюда видно, что выражение, стоящее в скобках под интегралом представляет собой искомый оператор \hat{\dot{f}}:

\hat{\dot{f}}=\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{i}{h}\left(\hat{H}\hat{f}-\hat{f}\hat{H}\right)

Ландавшиц стр 43


Система Orphus

Комментарии