Система Orphus

Система Orphus

Соотношение неопределенностей

Пусть \hat{F} и \hat{G} - операторы физических величин, и [\hat{F},\hat{G}]=i\hat{K}, где \hat{K}^{+}=\hat{K}. Докажем, что в любом квантовом состоянии выполняется следующее соотношение (соотношение неопределенностей):

\langle(\Delta F)^2\rangle\langle(\Delta G)^2\rangle\geqslant \frac{\langle K\rangle^2}{4}.

Доказательство: Разобьем доказательство на три части.

1) Покажем, что (\hat{F}\hat{G})^{+}=\hat{G}^{+}\hat{F}^{+}. Действительно,

\langle\psi|\hat{F}\hat{G}\varphi\rangle=\langle(\hat{F}\hat{G})^2\psi|\varphi\rangle
\langle\psi|\hat{F}\hat{G}\varphi\rangle=\langle\hat{F}^{+}\psi|\hat{G}\varphi\rangle=\langle\hat{G}^{+}\hat{F}^{+}\psi|\varphi\rangle

Отсюда и следует то, что и требовалось доказать.

2) Покажем, что коммутатор [\hat{F},\hat{G}] представим в виде

[\hat{F},\hat{G}]=i\hat{K},

где \hat{K} - эрмитовый оператор (\hat{K}^{+}=\hat{K}). Легко видеть, что i^{+}=-i. Тогда из того, что

[\hat{F},\hat{G}]^{+}=(\hat{F}\hat{G}-\hat{G}\hat{F})^{+}=(\hat{G}^{+}\hat{F}^{+}-\hat{F}^{+}\hat{G}^{+})=(\hat{G}\hat{F}-\hat{F}\hat{G})=-(\hat{F}\hat{G}-\hat{G}\hat{F})=-[\hat{F},\hat{G}],

следует

[\hat{F},\hat{G}]=i\hat{K},

где \hat{K}^{+}=\hat{K}.

3) Докажем соотношение неопределенностей. Рассмотрим оператор отклонения от среднего \Delta\hat{F}=\hat{F}-\bar{F}. Для него имеем

\langle\Delta F\rangle=\langle\psi|(\hat{F}-\bar{F})\psi\rangle=\langle\psi|\hat{F}\psi\rangle-\bar{F}\langle\psi|\psi\rangle=\bar{F}-\bar{F}\times 1=0
(\Delta F)^{+}=(\hat{F}-\bar{F})^{+}=\hat{F}-\bar{F}=\Delta F.

По определению, \langle(\Delta F)^2\rangle=\langle\psi|(\Delta\hat{F})|\psi\rangle. Аналогично для оператора \Delta \hat{G}=\hat{G}-\bar{G}:

\langle\Delta G\rangle=0 ,
(\Delta \hat G)^{+}=\Delta \hat G,
\langle(\Delta G)^2\rangle=\langle\psi|(\Delta\hat{G})|\psi\rangle

При этом справедливо

[\hat{F},\hat{G}]=i\hat{K}

Рассмотрим новый оператор z\Delta\hat{F}+i\Delta\hat{G}, где z - произвольное действительное число. Тогда

\langle (z\Delta\hat{F}+i\Delta\hat{G})\psi|(z\Delta\hat{F}+i\Delta\hat{G})\psi\rangle=f(z)\geqslant 0.

C другой стороны

f(z)=\langle \psi|(z\Delta\hat{F}+i\Delta\hat{G})^{+}(z\Delta\hat{F}+i\Delta\hat{G})\psi\rangle=
=\langle \psi|(z\Delta\hat{F}-i\Delta\hat{G})(z\Delta\hat{F}+i\Delta\hat{G})\psi\rangle=
=z^2\langle(\Delta \hat{F})^{2}\rangle+\langle(\Delta \hat{G})^{2}\rangle+iz\langle\psi|(\Delta \hat{F}\Delta \hat{G}-\Delta \hat{G}\Delta \hat{F})\rangle=
z^2\langle(\Delta \hat{F})^{2}\rangle+\langle(\Delta \hat{G})^{2}\rangle-iz\langle\psi|i\hat{K}\psi\rangle=
=z^2\langle(\Delta \hat{F})^{2}\rangle+\langle(\Delta \hat{G})^{2}\rangle-z\langle K\rangle.

Но так как

f(z)\geqslant 0,~~\forall z,

то должно быть выполнено

\langle K\rangle^2-4\langle(\Delta \hat{F})^{2}\rangle\langle(\Delta \hat{G})^{2}\rangle\leqslant 0,

или

\langle(\Delta \hat{F})^{2}\rangle\langle(\Delta \hat{G})^{2}\rangle\geqslant \frac{\langle K\rangle^2}{4}.

Доказательство закончено.


Барабанов 1 стр 20


Система Orphus

Комментарии