Система Orphus

Система Orphus

Общая теория движения в поле центрально-симметричного потенциала

В центральном поле потенциальная энергия частицы зависит только от её расстояния от центра, т.е.

U(\bold{r})=U(|\bold{r}|)\equiv U(r),~~|\bold{r}|\equiv r.

Силы, действующие на частицу в центральном поле, разумеется, являются центральными, поскольку

\bold{F}=-\nabla U=-U'(r)\frac{\bold{r}}{r}.

Операторы \hat{H},\hat{\bold{l}}^2 и \hat{l}_{\alpha} коммутируют друг с другом. А это означает, что они имеют общую систему собственных функций.

Для оператора квадрата орбитального момента получаем

\hat{\bold{l}}^2=-\Delta_{\theta,\varphi}.

Рассмотрим вид оператора Гамильтона в сферических координатах:

\hat{H}=\frac{\hat{\bold{p}}^2}{2m}+U(r)=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta_{r,\theta,\varphi}+U(r)

Лапласиан в сферических координатах выглядит следующим образом

\Delta_{r,\theta,\varphi}=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{\Delta_{\theta,\varphi}}{r^2},

Поэтому оператор Гамильтона можно записать так:

\hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial}{\partial r}\right)-\frac{\hat{\bold{l}}^2}{r^2},\right)+U(r).

Барабанов 1 стр 38


Система Orphus

Комментарии