Система Orphus

Система Orphus

Радиальное уравнение Шредингера

Ищем решение стационарного уравнения Шредингера в виде

\psi(\bold{r})=R(r)Y_{lm}(\theta,\varphi).

Подставляя его в уравнение, получаем

-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial}{\partial r}-\frac{\hat{\bold{l}}^2}{r^2}\right)R(r)Y_{lm}(\theta,\varphi)\right)+
+U(r)R(r)Y_{lm}(\theta,\varphi)=ER(r)Y_{lm}(\theta,\varphi).

Поскольку

\hat{\bold{l}}^2Y_{lm}(\theta,\varphi)=l(l+1)Y_{lm}(\theta,\varphi),

то, сокращая Y_{lm}(\theta,\varphi), находим уравнение для радиальной функции:

-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{d}{dr}\right)-\frac{l(l+1)}{r^2}\right)R(r)+U(r)R(r)=ER(r).

Небольшая перегруппировка дает:

-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{d}{dr}\right)R(r)+U_{\mathrm{eff}}(r)R(r)=ER(r),

где введено

U_{\mathrm{eff}}(r)=U(r)+\frac{\hbar^2l(l+1)}{2mr^2}.

Далее примем R(r)=\frac{u(r)}{r}, и, пользуясь тем, что

\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{d}{dr}\right)\frac{u(r)}{r}=\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}r^2\left(\frac{u'(r)}{r}-\frac{u(r)}{r^2}\right)=
=\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}(ru'(r)-u(r))=\frac{u''}{r},

получим

-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{u''}{r}+U_{\mathrm{eff}}(r)\frac{u(r)}{r}=E\frac{u(r)}{r}.

Домножая на r, приходим к окончательному виду уравнению на радиальную функцию u(r):

-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2u(r)}{dr^2}+U_{\mathrm{eff}}(r)u(r)=Eu(r).

Этот результат называют радиальным уравнением Шредингера.


Барабанов 1 стр 44


Система Orphus

Комментарии