Система Orphus

Система Orphus

Сферические гармоники

Собственными функциями операторов \hat{\bold l}^2 и \hat{l}_z являются сферические гармоники Y_{lm}(\theta, \varphi):

\hat{\bold l}^2Y_{lm}(\theta, \varphi)=\lambda Y_{lm}(\theta, \varphi),
\hat{l}_z^2Y_{lm}(\theta, \varphi)=m Y_{lm}(\theta, \varphi).

Подставим в эти уравнения явные выражения для операторов в сферических координатах:

\begin{cases}
\left(-\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}-\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}\right)\right)Y_{lm}(\theta,\varphi)=\lambda Y_{lm}(\theta, \varphi),\\
-i\frac{\partial}{\partial\varphi}Y_{lm}(\theta,\varphi)=mY_{lm}(\theta,\varphi).
\end{cases}

Решим эту систему дифференциальных уравнений методом разделения переменных:

Y(\theta,\varphi)=A(\theta)B(\varphi)

Из второго уравнения получаем

-i\frac{dB(\varphi)}{d\varphi}=mB(\varphi)~~\to~~B(\varphi)=e^{im\varphi}

При изменении угла \varphi на 2\pi мы возвращаемся в исходную точку пространства. Поскольку волновая функция должна быть однозначной, то

B(\varphi+2\pi)=B(\varphi)

то есть

e^{i2\pi m}=1.

Следовательно m\in\mathbb{Z}. Подставляя

Y_{lm}(\theta,\varphi)=A(\theta)e^{im\varphi}

в первое уравнение системы и сокращая e^{im\varphi}, получаем уравнение на A(\theta):

\left(-\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{d}{d\theta}\right)+\frac{m^2}{\sin^2\theta}\right)A(\theta)=\lambda(l)A(\theta).

Выполним замену переменной:

\xi=\cos\theta,~~~~-1\leqslant\xi\leqslant 1,
\frac{d}{d\theta}=\frac{d\cos\theta}{d\theta}\frac{d}{d\xi}=-\sin\theta\frac{d}{d\xi}.

Тогда

-\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{d}{d\theta}\right)=\frac{d}{d\xi}\left(\left(\xi^2-1\right)\frac{d}{d\xi}\right)=(\xi^2-1)\frac{d^2}{d\xi^2}+2\xi\frac{d}{d\xi},

и уравнения для A(\xi) принимает вид

\left((\xi^2-1)\frac{d^2}{d\xi^2}+2\xi\frac{d}{d\xi}+\frac{m^2}{1-\xi^2}\right)A(\xi)=\lambda(l)A(\xi).

Из теории уравнений математической физики следует, что расходимостей при \xi=\pm 1 нет, только если

\lambda(l)=l(l+1),

где l=|m|,|m|+1,...(l\geqslant|m|). То есть при любых l=0,1,2... получаем уравнение

\left((xi^2-1)\frac{d^2}{d\xi^2}+2\xi\frac{d}{d\xi}+\frac{m^2}{1-\xi^2}-l(l+1)\right)A(\xi)=0

где m=0,\pm 1,\pm 2...\pm l. В таком случае A_{lm}(\xi) - это функция без особенностей при -1\leqslant \xi\leqslant 1. Поскольку уравнение содержит m^2, то функции A_{lm}(\xi) и A_{l,-m}(\xi) отличаются только постоянными множителем.

Рассмотрим два случая

a) m=0,

\left((\xi^2-1)\frac{d^2}{d\xi^2}+2\xi\frac{d}{d\xi}-l(l+1)\right)A(\xi)=0.

Тогда решением является A(\xi)=P_{l}(\xi) - полином Лежандра степени l. Его явный вид задается формулой Родрига:

P_l(\xi)=\frac{1}{2^ll!}\frac{d^l}{d\xi^l}(\xi^2-1)^{l}

б) m>0. Тогда A(\xi)=P^{m}_{l}(\xi) - присоединенный полином Лежандра. Для него имеем:

P^{m}_{l}(\xi)=(1-\xi^2)^{m/2}\frac{d^m}{d\xi^m}P_{l}(\xi).

Полиномы Лежандра обладают свойством ортогональности:

\int\limits_{-1}^{+1}P^m_l(\xi)P^m_{l'}(\xi)d\xi\sim \delta_{ll'}.

Итак сферические гармоники имеют вид (для неотрицательных m):

Y_{lm}(\theta,\varphi)=C_{lm}P^{m}_{l}(\theta)e^{im\varphi},~l=0,1,2,...,~m=0,1,2...l.

Константы C_{lm} находятся из условия нормировки

\int\int|Y_{lm}(\theta,\varphi)|^2d\Omega=1.

Можно показать что

C_{lm}=\left(\frac{2l+1}{4\pi}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}\right)^{1/2}.

Сферические гармоники с отрицательными m=-1,-2...-l по определению принимают равными

Y_{lm}(\theta,\varphi)=(-1)^mY^{*}_{l-m}(\theta,\varphi)

Сферические гармоники образуют полный ортонормированный базис на сфере (0\leqslant \theta \leqslant \pi,~0\leqslant\varphi\leqslant 2\pi).


Барабанов 1 41


Система Orphus

Комментарии