Система Orphus

Система Orphus

Критерий применимости квазиклассического приближения

Если дебройлевские длины волн частиц малы по сравнению с характеристическими размерами L, определяющими условия данной конкретной задачи, то свойства системы близки к классическим.

Произведем теперь более подробное исследование свойств квазиклассических систем. Для этого в уравнении Шредингера

\sum_{a}\frac{\hbar^2}{2m_a}\Delta_a\psi+(E-U)\psi=0

сделаем формальную подстановку

\psi=\mathrm{exp}\left(\frac{i}{\hbar}\sigma\right).

Для функции \sigma получаем уравнение

\sum_{a}\frac{1}{2m_a}(\nabla_a\sigma)^2-\sum_a\frac{i\hbar}{2m_a}\Delta_a\sigma=E-U.

Соответственно тому, что система предполагается почти классической по своим свойствам, будем искать \sigma в виде ряда

\sigma=\sigma_0+\frac{\hbar}{i}\sigma_1+\left(\frac{\hbar}{i}\right)^2\sigma_2+\ldots,

Начнем с рассмотрения наиболее простого случая - одномерного движения одной частицы. Уравнение (46.2) сводится тогда к уравнению

\frac{1}{2m}\sigma'^{2}-\frac{i\hbar}{2m}\sigma''=E-U(x)

(где штрих означает дифференцирование по координате x). В первом приближении пишем \sigma=\sigma_0 и опускаем в уравнении член, содержащий \hbar:

\frac{1}{2m}\sigma_0'^2=E-U(x).

Отсюда находим

\sigma_0=\pm\int\sqrt{2m[E-U(x)]}dx.

Подынтегральное выражение представляет собой не что иное, как классический импульс p(x) частицы, выраженный в функции от координаты. Определив функцию p(x) со знаком + перед корнем, будем иметь

\sigma_0=\pm\int pdx,~~p=\sqrt{2m(E-U)}

что и следовало ожидать в соответствии с предельным выражением (6.1) для волновой функции.

Сделанное в уравнение (46.4) пренебрежение законно только в том случае, если второй член в левой части равенства мал по сравнению с первым, т.е. должно быть \hbar|\sigma''/\sigma'^2|\ll 1 или

\left|\frac{d}{dx}\left(\frac{\hbar}{\sigma'}\right)\right|\ll 1.

В первом приближении имеем, согласно (46.5), \sigma'=p, так что полученное условие можно написать в виде

\left|\frac{d\lambda}{2\pi dx}\right|\ll 1,

где \lambda(x)=2\pi\hbar/p(x) - дебройлевская длина волны частицы, выраженная как функция от x с помощью классической функции p(x). Таким образом мы получим количественное условие квазиклассичности - длина волны частицы должна мало меняться на протяжении расстояний порядка ее самой. Приближение становится неприменимы в тех областях пространства, где это условие не выполняется.

\left|\frac{d\lambda}{dq}\right|=\left|\frac{\hbar p'}{p^2}\right|\ll 1.

Ландавшиц стр.208


Система Orphus

Комментарии