Система Orphus

Система Orphus

Стационарная теория возмущений для случая невырожденного уровня энергии.

Предположим, что гамильтониан для физической системы имеет вид:

\hat{H}=\hat{H_0}+\hat{V},

где \hat{V} представляет собой малую поправку (возмущение) к "невозмущенному" оператору \hat{H}.


Предполагается, что собственные функции \psi_n^{(0)} и собственные значения оператора \hat{H}_0 известны, т.е. известны точные решения уравнения

\hat{H}_0\psi^{(0)}=E^{(0)}\psi^{(0)}.

Требуется найти приближенные решения уравнения

\hat{H}\psi=(\hat{H_0}+\hat{V})\psi=E\psi.

Будем предполагать, что все собственные значения оператора \hat{H}_0 не вырождены .

Разложим искомую функцию \psi по функциям \psi_m^{(0)}:

\psi=\sum_{m}c_m\psi^{(0)}_m.

Подставляя это разложение, получим

\sum_{m}c_m\left(E^{(0)}_m+\hat{V}\right)\psi^{(0)}_m=\sum_{m}c_mE\psi^{(0)}_m

а умножив это равенство с обеих сторон на \psi^{(0)*}_k и интегрируя, найдем

(E-E^{(0)}_k)c_k=\sum_{m}V_{km}c_m.

Здесь введена матрица V_{km} оператора возмущения \hat{V}, определенная с помощью невозмущенных функций \psi_{m}^{(0)}:

V_{km}=\int\psi^{(0)*}_k\hat{V}\psi^{(0)}_mdq.

Будем искать значения коэффициентов c_m и энергии E в виде рядов

E=E^{(0)}+E^{(1)}+E^{(2)}+\ldots,~~c_m=c^{(0)}_m+c^{(1)}_m+c^{(2)}_m+\ldots,

где величины E^{(1)}, c^{(1)}_m - того же порядка малости, что и возмущение \hat{V}, величины E^{(2)}, c_m^{2} - второго порядка малости, и т.д.

Определим поправки к n - му собственному значению и собственной функции, соответственно чему полагаем: c^{0}_n=1,~c_m^{(0)}=0,~m\ne n. Для отыскания первого приближения подставим в уравнение (38.4) E=E^{(0)}_n+E^{(1)}_n,~c_k=c^{(0)}_k+c^{(1)}_k, сохранив только члены первого порядка. Уравнение с k=n дает

E^{(1)}_{n}=V_{nn}=\int\psi^{(0)*}_{n}\hat{V}\psi^{(0)}_ndq

Таким образом поправка первого приближения к собственному значению E_n^{0} равна среднему значению возмущения в состоянии \psi_{n}^{(0)}.

Уравнение (38.4) с k\ne n дает

c^{1}_{k}=\frac{V_{kn}}{E^{(0)}_n-E^{(0)}_k},~~k\ne n,

а c^{(1)}_{n} считается произвольным и оно должно быть выбрано так, чтобы функция \psi_n=\psi_n^{(0)}+\psi^{1}_n была нормирована с точностью до членов первого порядка включительно. Для этого надо положить c^{(1)}_n=0. Действительно, функция

\psi^{(1)}_n=\sum_{m\ne n}\frac{V_{mn}}{E^{(0)}_n-E^{(0)}_m}\psi_{m}^{(0)}

ортогональна к \psi^{(0)}_n, а поэтому интеграл от |\psi^{(0)}_n+\psi^{(1)}_n|^{2} отличается от единицы лишь на величину второго порядка малости.

Формула (38.8)определяет поправку первого приближения к волновым функциям. Из нее, кстати, видно, каково условие применимости рассматриваемого метода. Именно, должно иметь место неравенство

|V_{mn}|\ll |E^{(0)}_n-E^{(0)}_m|

Определим еще поправку второго приближения к собственному значению E^{(0)}_n. Для этого подставляем в (38.4) E=E^{(0)}_n+E^{(1)}_n+E^{(2)}_n,~~c_k=c_k^{(0)}+c_k^{(1)}+c_k^{(2)} и рассматриваем члены второго порядка малости. Уравнения с k=n дает

E^{(2)}_nc^{(0)}_n=\sum_{m\ne n}V_{nm}c^{(1)}_m,

откуда

E^{(2)}_{n}=\sum_{m\ne n}\frac{|V_{mn}|^2}{E^{(0)}_n-E^{(0)}_m},

Ландавшиц стр.168


Система Orphus

Комментарии