Система Orphus

Система Orphus

Стационарная теория возмущений для случая вырожденного уровня энергии.

Обратимся к случаю, когда невозмущенный оператор \hat{H}_0 имеет вырожденные собственные значения. Будем обозначать посредством \psi^{(0)}_n, \psi^{(0)}_{n'}, \ldots собственные функции, относящиеся к одному и тому же собственному значению энергии E^{(0)}_n. Выбор этих функций неоднозначен - вместо них можно выбрать любые s независимых линейных комбинаций этих же функций. Он перестает, однако, быть произвольным, если мы подчиним волновые функции требованию, чтобы их изменение под влиянием приложенного малого возмущения было малым.

Пока что будем подразумевать под \psi^{(0)}_n, \psi^{(0)}_{n'}, \ldots некоторые произвольно выбранные невозмущенные собственные функции. Правильные функции нулевого приближения - линейные комбинации вида

c^{(0)}_n\psi_n^{(0)}+c^{(0)}_{n'}\psi_{n'}^{(0)}+\ldots

Коэффициенты в этих комбинациях определяются, вместе с поправками первого приближения к собственным значениям, следующим образом.

Выпишем уравнение

(E-E^{(0)}_k)c_k=\sum_m V_{km}c_m

с k=n,n',\ldots, подставив в них в первом приближении E=E^{(0)}_n+E^{(1)}_n, причем для величин c_k достаточно ограничиться нулевыми значениями c_n=c_n^{(0)}, c_{n'}=c_{n'}^{(0)},\ldots;~c_m=0 при m \ne n,~n',\ldots. Тогда получим

E^{(1)}c^{(0)}=\sum_{n'}V_{nn'}c^{(0)}_{n'}

или

\sum_{n'}(V_{nn'}-E^{(1)}\delta_{nn'})c^{(0)}_{n'}=0~~~~(1),

где n,~n' пробегают все значения, нумерующие состояния, относящиеся к данному невозмущенному собственному значению E^{(0)}_{n}. Это система однородных линейных уравнений для величин c^{(0)}_n имеет отличные от нуля решения при условии обращения в нуль определителя, составленного из коэффициентов при неизвестных. Таким образом, получаем уравнение

\det\left|\left|V_{nn'}-E^{(1)}\delta_{nn'}\right|\right|=0~~~~(2).

Это уравнение - s-степени по E^{(1)} и имеет, вообще говоря, s - различных вещественных корней. Эти корни и представляют собой искомые поправки первого приближения к собственным значениям. Уравнение (39.2) называют секулярным. Отметим, что сумма его корней равна сумме диагональных матричных элементов V_{nn},~V_{n'n'},\ldots - это есть коэффициент при E^{(1)s-1} в уравнении.

Подставляя поочередно корни уравнения (2) в систему (1) и решая последнюю. Найдем коэффициенты c^{(0)}_n и таким образом определим собственные функции нулевого приближения.

В результате возмущения первоначально вырожденный уровень энергии перестает, вообще говоря, быть вырожденным; как говорят возмущение снимает вырождение. Снятие вырождения может быть как полным, так и частичным.


Ландавшиц 174


Система Orphus

Комментарии