Система Orphus

Система Orphus

Нестационарная теория возмущений

Говорить о поправках к собственным значениям энергии в случае возмущений зависящих от времени нельзя,поскольку при зависящем от времени гамильтониане (\hat{H}=\hat{H}_0+\hat{V}(t)) энергия системы не сохраняется. Задача заключается в приближенном вычислении волновых функций по волновым функциям стационарных состояний невозмущенной системы.

Для этой цели применяют метод, соответствующий известному методу вариации постоянных для решения линейный дифференциальных уравнений.

Нахождение решения.

Пусть \psi_k^{(0)} - волновые функции стационарных состояний невозмущенной системы. Тогда произвольное решение невозмущенного волнового уравнения может быть представлено в виде

\psi=\sum a_k\psi_k^{(0)}

Будем теперь искать решение возмущенного уравнения

i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t}=\left(\hat{H}_0+\hat{V}\right)\psi~~~~~(40.1)

В виде суммы

\psi=\sum_k a_k(t)\psi_k^{(0)}~~~~~(40.2)

где коэффициенты разложения являются функциями времени. Подставив (40.2) в (40.1) и помня, что функции \psi_k^{(0)} удовлетворяют уравнению

i\hbar\frac{\partial \psi_k^{(0)}}{\partial t}=\hat{H}_0\psi_k^{(0)},

получим

i\hbar\sum_k\psi_k^{(0)}\frac{da_k}{dt}=\sum_k a_k\hat{V}\psi_k^{(0)}

Умножив обе части равенства слева на \psi^{(0)*}_m и интегрируя получим

i\hbar\frac{da_m}{dt}=\sum_k V_{mk}(t)a_k,

где

V_{mk}(t)=\int \psi^{(0)*}_m\hat{V}\psi^{(0)}_k dq=V_{mk}e^{i\omega_{mk}t},~~\omega_{mk}=\frac{E_{m}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}{\hbar}

- матричные элементы возмущения, включающие временной множитель (надо, впрочем иметь в виду, что при зависящем явно от времени V величины V_{mk} тоже являются функциями времени).

В качестве невозмущенной волновой функции выберем волновую функцию n - ого стационарного состояния, чему соответствуют значения коэффициентов в (40.2): a^{(0)}_n=\delta_{nk}. Для определения первого приближения ищем a_k в виде a_k=a^{(0)}_k+a^{(1)}_k, причем в правую часть уравнения (40.3) подставляем a_k=a^{(0)}_k. Это дает

i\hbar\frac{da_k^{(1)}}{dt}=V_{kn}(t).~~~~~(40.4)

Для того чтобы указать, к какой из невозмущенных функций вычисляется поправка, введем второй индекс к коэффициентов a_k, написав

\psi_n=\sum_k a_{kn}(t)\psi_k^{(0)}.

Соответственно этому, напишем результат интегрирования (40.4) в виде

a_{kn}^{(1)}=-\frac{i}{\hbar}\int V_{kn}(t)dt=-\frac{i}{\hbar}\int V_{kn}e^{i\omega_{kn}t}dt.~~~~(40.5)

Этим определяются волновые функции первого приближения.


Ландавшиц 179


Система Orphus

Комментарии