Система Orphus

Система Orphus

Адиабатические и внезапные возмущения.

Ниже мы будем рассматривать вероятности квантовых переходов используя первый порядок возмущений. В этом случае вероятность перехода из состояния |i\rangle в |f\rangle дается соотношением

W_{fi}=\frac{1}{\hbar^2}\left|\int\limits_{0}^{\tau}V_{fi}(t')e^{i\omega_{fi}t'}dt'\right|^2,~~f\ne i.~~~~(4.16)

Это соотношение может быть упрощено в двух предельных случаях - очень плавного - адиабатического и очень быстрого - внезапного изменения возмущения \hat{V}(\xi, t) во времени. Для этого преобразуем соотношение (4.16), используя метод интегрирования по частям с учетом того, что \hat{V}(\xi, t) обращается в нуль при t=0 и t=\tau:

i\omega_{fi}\int\limits_{0}^{\tau}V_{fi}(t)e^{i\omega_{fi}t}dt=\underbrace{\left.e^{i\omega_{fi}t}V_{fi}(t)\right|^{\tau}_0}_{0}-\int\limits_{0}^{\tau}e^{i\omega_{fi}t}\frac{\partial}{\partial t}V_{fi}(t)dt.

После сделанных преобразований вероятность перехода определяется соотношением

W_{fi}=\frac{1}{(\hbar\omega_{fi})^2}\left|\int\limits_{0}^{\tau}e^{i\omega_{fi}t}\frac{\partial}{\partial t}V_{fi}(t)dt\right|^2,~~~~(4.17)

также содержащим интегрирование по времени, но уже от частной производной по времени матричного элемента оператора возмущения.

Как видно в соотношении (4.17) скорость изменения матричного элемента фигурирует вместе с осциллирующей экспонентой, что позволяет выделить два предельных случая "внезапного" и "адиабатического" возмущения. С одной стороны, соотношение (4.17) содержит величину, определяющую характерные времена (T\sim\omega_{fi}^{-1}) и энергии (E=\hbar\omega_{fi}) для данной квантовой системы, с другой же - скорость изменения матричного элемента, характеризующую изменение внешнего поля, определяемого потенциалом \hat{V}(\xi,t). Нетрудно составить безразмерный параметр \beta, определяющий режим "внезапного" и "адиабатического" возмущения:

\beta=\frac{T}{E}\left(\frac{\partial}{\partial t}V_{fi}(t)\right)\sim \frac{1}{\hbar\omega^2_{fi}}\frac{\partial}{\partial t}V_{fi}(t).

Если \beta\ll 1, т.е. внешнее поле изменяется достаточно медленно по сравнению с характерными изменениями в квантовой системе (\sim E/T), то говорят об адиабатическом возмущении; в противоположном случае, \beta \gg 1, то говорят, что возмущение включается внезапно.

В случае адиабатического возмущения производная от матричного элемента является медленно меняющейся функцией времени и может быть вынесена из-под знака интеграла. В этом случае интеграл по t' элементарно вычисляется и мы имеем:

W_{fi}\approx \frac{4}{\hbar^2\omega^{4}_{fi}}\left|\frac{\partial}{\partial t}V_{fi}(t)\right|^2\sin^2(\omega_{fi}\tau/2),

причем, ввиду адиабатичности перехода, значение производной может быть выбрано в произвольный момент времени, например, в точке максимального значения производной. Очевидно, так как \beta\gg 1, то и W_{fi}\ll 1. Таким образом, вероятность переходов под действием адиабатического возмущения мала.

Если включение возмущения происходит внезапно, то в значении интеграла (4.17) основной вклад дает малый промежуток времени \Delta t\ll \omega_{fi}^{-1}, в течение которого происходит максимальное возмущения. В этом случае экспонента слабо изменяется за это время и может быть вынесена из под знака интеграла. Оставшийся интеграл вычисляется элементарно, и мы имеем:

W_{fi}\approx \frac{|V_{fi}(t_0)|^2}{\hbar^2\omega^2_{fi}},~~~~(4.20)

где t_0 - момент времени, соответствующий максимальному значению взаимодействия при его внезапном включении.

Соотношение (4.20) позволяет вычислить вероятности перехода под действием внезапных, но малых по абсолютной величине возмущений. В данном случае малость возмущения необходима для выполнения общих условий применимости теории возмущений. В некоторых случаях возмущение нельзя считать малым по абсолютной величине, так что формализм теории возмущений становится неприменимым и задачу приходится решать точно.


Квантмех 2 стр 44


Система Orphus

Комментарии