Система Orphus

Система Orphus

Линейный эффект Штарка в атоме водорода

Линейный эффект Штарка - эффект, при котором уровни атома водорода в однородном электрическом поле испытывают расщепление пропорциональное первой степени напряженности поля. Это связано с наличием у водородных термов случайного вырождения, в силу которого состояния с различными значениями орбитального квантового числа l (при заданном главном квантовом числе n) обладают одинаковыми энергиями. Матричные элементы дипольного момента для переходов между этими состояниями отнюдь не равны нулю, а потому секулярное уравнение дает уже в первом приближении отличное от нуля смещение уровней.

Для вычисления удобно выбрать невозмущенные волновые функции таким образом, чтобы матрица возмущения была диагональна по отношению к каждой группе взаимно вырожденных состояний. Оказывается, что это осуществляется путем квантования атома водорода в параболических координатах. Волновые функции \psi_{n_1n_2m} стационарных состояний атома водорода в параболических координатах определяются формулами:

\psi_{n_1n_2m}=\frac{\sqrt{2}}{n^2}f_{n_1m}\left(\frac{\xi}{n}\right)f_{n_2m}\left(\frac{\eta}{n}\right)\frac{e^{im\varphi}}{\sqrt{2\pi}},
f_{pm}(\rho)=\frac{1}{|m|!}\sqrt{\frac{(p+|m|)!}{p!}}F(-p, |m|+1, \rho)e^{-\rho/2}\rho^{|m|/2}.

Оператор возмущения (энергия электрона в поле \mathcal{E}) есть \mathcal{E} z=\mathcal{E}(\xi-\eta)/2 (поле направлено в положительном, а действующая на электрон сила - в отрицательном направлении оси z). Нас интересуют матричные элементы для переходов n_1n_2m\to n_1'n_2'm', при которых энергия (т.е. главное квантовое число n) не меняется. Легко видеть, что из них оказываются отличными от нуля только диагональные матричные элементы

\int |\psi_{n_1n_2m}|^2\mathcal{E} z dV=\frac{\mathcal{E}}{8}\int\limits_0^\infty\int\limits_0^\infty\int\limits_0^{2\pi}(\xi^2-\eta^2)|\psi_{n_1n_2m}|^2d\varphi d\xi d\eta=
=\frac{\mathcal{E}}{4}\int\limits_0^\infty\int\limits_0^\infty  f^2_{n_1m}(\rho_1)f^2_{n_2m}(\rho_2)(\rho_1^2-\rho_2^2)d\rho_1 d\rho_2

(мы произвели подстановку \xi=n\rho_1,~\eta=n\rho_2). В отношении числа m диагональность рассматриваемой матрицы очевидна; что касается чисел n_1, n_2, то диагональность по отношению к ним следует из взаимной ортогональности функции f_{n_1m} с различными n_1 и одинаковыми m. Интегрирование по d\rho_1 и по d\rho_2 разделяются; получающееся интегралы вычисляются. После простого вычисления получим в результате для поправки первого приближения к уровням энергии

E^{(1)}=\frac{3}{2}\mathcal{E} n(n_1-n_2)~~~~~(77.2)

или в обычных единицах

E^{(1)}=\frac{3}{2}n(n_1-n_2)|e|\mathcal{E}\frac{\hbar^2}{me^2}.

Две крайние компоненты расщепившегося уровня соответствуют n_1=n-1, n_2=0 и n_1=0, n_2=n-1. Расстояние между этими двумя крайними уровнями есть, согласно (77.2),

3\mathcal{E} n(n-1),

т.е. общее расщепление уровня при эффекте Штарка примерно пропорционально n^2.


Ландавшиц 352


Система Orphus

Комментарии