Система Orphus

Система Orphus

Правило квантования Бора-Зоммерфельда

Состояния дискретного спектра энергии квазиклассичны при больших значениях квантового числа n - порядкового номера состояния. Действительно, это число определяет число узлов собственной функции. Но расстояние между соседними узлами совпадает по порядку величины с дебройлевской длиной волны. При больших n это расстояние мало, так что длина волны мала по сравнению с размерами области движения.

Выведем условие, определяющее квантовые уровни энергии в квазиклассическом случае. Для этого рассмотрим финитное одномерное движение частицы в потенциальной яме; классически доступная область b\leqslant x \leqslant a ограничена двумя точками поворота.

Согласно правилу

\frac{C}{2\sqrt{|p|}}\exp\underset{U(x)>E}{\left\{-\frac{1}{\hbar}\left|\int\limits_{a}^{x}pdx\right|\right\}}\to\frac{C}{2\sqrt{|p|}}\cos\underset{U(x)<E}{\left\{\frac{1}{\hbar}\left|\int\limits_{a}^{x}pdx\right|\right\}}

граничное условие в точке x=b приводит (в области справа от нее) к волновой функции

\psi=\frac{C}{\sqrt{p}}\cos\left(\frac{1}{\hbar}\int\limits_b^xpdx-\frac{\pi}{4}\right)

Применив это же правило к области слева от точки x=a, получим ту же волновую функцию в виде

\psi=\frac{C'}{\sqrt{p}}\cos\left(\frac{1}{\hbar}\int\limits_x^apdx-\frac{\pi}{4}\right)

Для того чтобы эти два выражения совпадали во всей области, сумма их фаз(которая есть величина постоянная) должна быть кратным от \pi:

\frac{1}{\hbar}\int\limits_b^apdx-\frac{\pi}{2}=n\pi

причем C=(-1)^{n}C'. Отсюда

\frac{1}{2\pi\hbar}\oint pdx = n+\frac{1}{2},

где интеграл \oint pdx=2\int\limits_b^a pdx взят по полному периоду классического движения частицы. Это и есть, определяющее в квазиклассическом случае стационарные состояния частицы. Оно соответствует правилу квантования Бора-Зоммерфельда старой квантовой теории.


Ландавшиц стр 212


Система Orphus

Комментарии