Система Orphus

Система Orphus

Производные по времени операторов координаты и импульса частицы в потенциальном поле

\hat{p}=i\hbar\frac{d}{dx},~\hat{H}=\frac{\hat{p}^2}{2m}+U(x). Оператор \hat{p} не зависит от времени t. Вычислим коммутатор

[\hat{H},\hat{p}]=[U(x),\hat{p}].

Для этого рассмотрим

[U(x),\hat{p}]f(x)=-i\hbar U(x)f'(x)+i\hbar(U'(x)f(x)+U(x)f'(x))=i\hbar U'(x)f(x)

Следовательно

[U(x),\hat{p}]=i\hbar U'(x).

Мы получаем, что

\frac{d\hat{p}}{dt}=\frac{i}{\hbar}[\hat{H},\hat{p}]=\frac{i}{\hbar}i\hbar U'(x)=-\frac{dU}{dx}

Аналогично найдем \frac{d\hat{x}}{dt}. В данном случае

\frac{i}{\hbar}[\hat{H},\hat{x}]=\frac{i}{2m\hbar}[\hat{p}^2,\hat{x}].

Вычислим коммутатор [\hat{p}^2,\hat{x}] либо непосредственно

[\hat{p}^2,\hat{x}]f(x)=-\hbar^2[\frac{d^2}{dx^2},x]f(x)=-\hbar^2(2f'(x)+xf''(x)-xf''(x))=-\hbar^2 f'(x)=-2i\hbar\hat{p}f(x) либо через вспомогательное соотношение

[\hat{p}^2,x]=\hat{p}[\hat{p},x]+[\hat{p},x]\hat{p}=-2i\hbar\hat{p}.

Тогда для искомой производной получаем

\frac{d\hat{x}}{dt}=\frac{i}{\hbar}[\hat{H},\hat{x}]=\frac{\hat{p}}{m},

то есть

\frac{d\hat{x}}{dt}=\frac{\hat{p}}{m}

Барабанов 1 стр 29


Система Orphus

Комментарии