Система Orphus

Система Orphus

Теоремы Эренфеста

Операторы \frac{d\hat{x}}{dt} и \frac{d\hat{p}}{dt} определяют скорости изменения средних значений координаты \langle x\rangle и импульса \langle p\rangle, соответственно. Воспользовавшись соотношениями

\frac{d\hat{x}}{dt}=\frac{\hat{p}}{m},~~~~\frac{d\hat{p}}{dt}=-\frac{dU}{dx}

получаем

\frac{d\langle x\rangle}{dt}=\langle \psi|\frac{d\hat{x}}{dt}|\psi\rangle=\langle \psi|\frac{\hat{p}}{m}|\psi\rangle=\frac{\langle p\rangle}{m}
\frac{d\langle p\rangle}{dt}\langle \psi|\frac{d\hat{p}}{dt}|\psi\rangle=-\langle\psi|\frac{dU}{dx}|\psi\rangle=-\int\frac{dU}{dx}|\psi|^2dx=-\langle\frac{dU}{dx}\rangle.

Следовательно

m\frac{d^2\langle x\rangle}{dt^2}=-\langle\frac{dU}{dx}\rangle.

Пусть \delta x - размер области локализации частицы (размер области, где плотность вероятности |\psi|^2 существенно отлична от нуля). Если \frac{dU}{dx} слабо меняется в области существенного изменения \frac{dU}{dx}), то

\langle\frac{dU}{dx}\rangle\simeq \left.\frac{dU}{dx}\right|_{x\simeq\langle x\rangle }

В этом случае движение в области локализации частицы определяется вторым законом Ньютона

m\frac{d^2\langle x\rangle}{dt^2}\simeq \left.-\frac{dU}{dx}\right|_{x\simeq\langle x\rangle }

Мы показали, что в пределах \Delta x\ll L классическая динамика выводится из квантовой динамики. Это утверждение называется теоремой Эренфеста.


Барабанов 1 стр 31


Система Orphus

Комментарии