Система Orphus

Система Orphus

Обменное взаимодействие

Обменное взаимодействие — взаимодействие тождественных частиц в квантовой механике, приводящее к зависимости значения энергии системы частиц от её полного спина.

Волновая функция системы частиц может быть записана в виде произведения

\psi(\xi_1,\xi_2)=\chi(\sigma_1,\sigma_2,\ldots)\varphi(\bold{r}_1,\bold{r}_2,\ldots),

где функция \varphi зависит только от координат частиц, а функция \chi - только от спинов; о первой будем говорить как о координатной, а о второй - как о спиновой волновой функции.

Существует своеобразная зависимость энергии системы от её полного спина, проистекающая в итоге из принципа неразличимости частиц.

Рассмотрим систему, состоящую из двух одинаковых частиц. В результате решения уравнения Шредингера мы найдем ряд уровней энергии, каждому из которых соответствует определенная симметричная или антисимметричная координатная волновая функция \varphi(\bold{r}_1, \bold{r}_2).

Предположим сначала, что частицы имеют нулевой спин. Спиновый множитель для таких частиц вообще отсутствует и волновая функция сводится лишь к координатной функции. Таким образом, не все из уровней энергии, получающихся при формальном решении уравнения Шредингера, могут в действительности осуществляться; те из них, которым соответствуют антисимметричные функции \varphi, для рассматриваемой системы невозможны.

Перестановка двух одинаковых частиц эквивалентна операции инверсии системы координат. С другой стороны волновая функция должна умножиться на (-1)^{l}, где l - орбитальный момент относительного движения обеих частиц (см. \S 30). Сопоставляя эти соображения со сказанным выше, мы приходим к выводу, что система из двух одинаковых частиц со спином нуль может обладать только четным орбитальным моментом.

Далее, пусть система состоит из двух частиц со спином 1/2. Тогда полная волновая функция системы должна быть непременно антисимметричной по отношению к перестановке обеих частиц. Поэтому при симметричной координатной функции, спиновая должна антисимметричной, и наоборот. Будем писать спиновую функцию в спинорном виде, т.е. в виде спинора второго ранга \chi^{\lambda\mu}, каждый из индексов которого соответствует спину одного из электронов. Симметричной по спинам обеих частиц функции соответствует симметричный спинор (\chi^{\lambda\mu}=\chi^{\nu\lambda}), а антисимметричной - антисимметричный спинор (\chi^{\lambda\mu}=-\chi^{\nu\lambda}). Но мы знаем, что симметричный спинор второго ранга описывает систему с равным единице полным спином, а антисимметричный спинор сводиться к скаляру, что соответствует равному нулю спину.

Таким образом мы приходим к следующему результату. Те уровни энергии, которым соответствуют симметричные решения \varphi(\bold{r}_1,\bold{r}_2) уравнения Шредингера, могут фактически осуществляться при равном нулю полном спине системы, т.е. когда спины обоих электронов антипараллельны, давая в сумме нуль. Значения же энергии, связанные с антисимметричными функциями \varphi(\bold{r}_1,\bold{r}_2), требуют равного единице полного спина, т.е. спины обоих электронов должны быть параллельными.

Другими словами, возможные значения энергии системы электронов оказываются зависящими от её полного спина. На этом основании можно говорить о некотором взаимодействии частиц, приводящем к этой зависимости. Это взаимодействие называют обменным.


Ландавшиц 282


Система Orphus

Комментарии