Система Orphus

Система Orphus

Линейный гармонический осциллятор

Рассмотрим линейный осциллятор - частицу, совершающую одномерные малые колебания. Потенциальная энергия такой частицы равна m\omega^2x^2/2, где \omega - в классической механике собственная частота колебаний. Соответственно этому, гамильтониан осциллятора

\hat{H}=\frac{\hat{p}^2}{2m}+\frac{m\omega^2x^2}{2}

Поскольку потенциальная энергия обращается в бесконечность при x=\pm\infty, то частица может совершать лишь финитное движение. В соответствии с этим весь энергетический спектр осциллятора будет дискретным.

Уравнение Шредингера для осциллятора:

\frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}\left(E-\frac{m\omega^2x^2}{2}\right)\psi=0.

Введем новую переменную

\xi=\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x.

Тогда получим уравнение

\psi''+\left(\frac{2E}{\hbar\omega}-\xi^2\right)\psi=0.~~~~~(1)

При больших \xi можно опустить 2E/\hbar\omega по сравнению с \xi^2; уравнение \xi''=\xi^2\psi имеет асимптотические интегралы \psi=e^{\pm\xi^2/2}. Поскольку волновая функция \psi должна оставаться при \xi\pm\infty конечной, то в показателе должен быть выбран знак минус. В связи с этим естественно сделать в уравнение (1) подстановку

\psi=e^{-\xi^2/2}v(\xi)~~~~(2).

с неизвестной функцией v(\xi). Подстановка (2) в (1) приводит к следующему уравнению:

v''(\xi)-2\xi v'(\xi)+(\lambda -1)v(\xi)=0.~~~~~(3)

где \lambda=\frac{2E}{\hbar\omega}. Решение должно удовлетворять граничному условию:

v(\xi)e^{-\xi^2/2}\left.\right|_{\xi\to\pm\infty}=0~~~~(4).

Представим неизвестную функцию v(\xi) в виде ряда Тейлора по степеням \xi с неизвестными коэффициентами:

v(\xi)=\sum^{\infty}_{k=0}a_k\xi^k.~~~~(5)

После подстановки (5) уравнение (3) принимает вид:

\sum^{\infty}_{k=0}\left\{(k+2)(k+1)a_{k+2}-\left[2k-(\lambda-1)\right]a_k\right\}\xi^k=0.~~~~~(6)

При приведении подобных слагаемых в первой сумме мы сделали замену индекса суммирования k\to k+2.

Уравнение (6) эквивалентно уравнению (3). Чтобы (6) выполнялось тождественно при любых значениях \xi. Коэффициенты при всех степенях \xi должны обратиться в нуль, откуда получаем следующее рекуррентное соотношение для коэффициентов a_k:

a_{k+2}=\frac{2k-(\lambda-1)}{(k+2)(k+1)}a_k.~~~~~(7)

Исследуем ряд (2) при условии |\xi|\gg\max|\sqrt{\lambda},1|. Рассмотрим его далекие слагаемые (k\gg 1). На основании (7) имеем:

\frac{a_{k+2}}{a_k}\left.\right|_{k\gg 1}\simeq \frac{2}{k}.

Но такому же соотношению удовлетворяют коэффициенты разложения функции e^{\xi^2}:

e^{\xi^2}=\sum^{\infty}_{m=0}\frac{\xi^{2m}}{m!}

Итак, ряд (5) для v(\xi) имеет асимптотику e^{\xi^2} и функция 
psi(\xi) в (2) не удовлетворяет граничному условию (4), а именно, она растет на бесконечности как e^{\xi^2/2}, что противоречит стандартному условию конечности. Тем не менее, все же можно обеспечить выполнения условия (4), поскольку рекуррентное соотношение (7) содержит пока произвольный параметр \lambda. Его можно подобрать так, чтобы ряд (5) содержал, конечное число слагаемых, т.е. стал полиномом. Действительно, выбрав \lambda положительно нечетным

\lambda_n=2n+1~~~~(8)

в соответствии с (7) получим:

a_{n+2}=\frac{2n-\left[(2n+1)-1\right]}{(n+1)(n+2)}

при этом условии ряд (5), превратившись в полином конечной степени n обеспечит выполнение условия (4).

Выясним смысл найденных значений \lambda. Этот безразмерный параметр связан с энергией соотношением (6), поэтому с помощью (8) находим значения энергий стационарных состояний осциллятора:

E_n=\hbar\omega\left(n+\frac{1}{2}\right),~~~n=0,1,..

Система Orphus

Комментарии