Система Orphus

Система Orphus

Уравнение непрерывности для плотности вероятности

Найдем явный вид плотности тока вероятности в трехмерном координатном пространстве. Оператор Гамильтона имеет вид

\hat{H}=\frac{\hat{\bold{p}}^2}{2m}+U(\bold{r})=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta+U(\bold{r}).

Уравнение Шредингера (для волновой функции \Psi) и комплексно сопряженное уравнение Шредингера (для функции \Psi^{*}) выглядит следующим образом:

i\hbar\frac{\partial\Psi(\bold{r},t)}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\Psi(\bold{r},t)+U(\bold r)\Psi(\bold{r},t),
-i\hbar\frac{\partial\Psi^{*}(\bold{r},t)}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\Psi^{*}(\bold{r},t)+U(\bold r)\Psi^{*}(\bold{r},t),

Домножим первое уравнение на \Psi^{*}, а второе на \Psi. Тогда, вычитая из первого уравнения второе, находим:

i\hbar\left(\Psi^{*}\frac{\partial \Psi}{\partial t}+\Psi\frac{\partial \Psi^{*}}{\partial t}\right)=-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\Psi^{*}\Delta\Psi-\Psi\Delta\Psi^{*}\right).

или

i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\Psi(\bold{r},t)|^2=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla(\Psi^{*}\nabla\Psi-\Psi\nabla\Psi^{*}).

Пусть \rho(\bold{r},t)=|\Psi(\bold{r},t)|^2 - плотность вероятности. Тогда полученное соотношение принимает вид уравнения непрерывности

\frac{\partial\rho}{\partial t}+\mathrm{div}~\bold{j}=0.

где \bold{j}=\frac{\hbar}{2mi}(\Psi^{*}\nabla\Psi-\Psi\nabla\Psi^{*}) - плотность потока вероятности.


Барабанов 1 стр 34


Система Orphus

Комментарии