Система Orphus

Система Orphus

Решение уравнения Дирака для свободной частицы

Построим решение уравнения Дирака для свободной частицы с энергией E, т.е. решим стационарное уравнение:

(c\boldsymbol{\alpha}\hat{\bold{p}}+\beta mc^2)\psi_{E}(\bold{r})=E\psi_E(\bold{r}).

Поскольку операторы \hat{H} и \hat{\bold{p}} коммутируют,

\left[c\boldsymbol{\alpha}\hat{\bold{p}}+\beta mc^2,\hat{\bold{p}}\right]=0,

то в качестве \psi_E(\bold{r}) можно взять собственную функцию оператора импульса, а именно:

\psi_E(\bold{r})=u\exp\left(i\frac{\bold{p}\bold{r}}{h}\right)

где

u=\left\{u_1, u_2, u_3, u_4\right\}\equiv\left\{\varphi, \chi\right\},
\varphi=\left\{u_1, u_2\right\},~\chi=\left\{u_3, u_4\right\},

есть биспинор, компонентами которого являются постоянные величины.

Подставляя предложенное решение в стационарное уравнение,

(c\boldsymbol{\alpha}\hat{\bold{p}}+\beta mc^2)u\exp\left(i\frac{\bold{p}\bold{r}}{h}\right)=Eu\exp\left(i\frac{\bold{p}\bold{r}}{h}\right)

получаем систему алгебраических уравнений для четырех компонент биспинора u:

(c\boldsymbol{\alpha}\hat{\bold{p}}+\beta mc^2)u=Eu,
или

c\bold{p}\begin{pmatrix} 0 & \boldsymbol{\sigma} \\\ \boldsymbol{\sigma}  & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \varphi\\\chi \end{pmatrix}+mc^2\begin{pmatrix} I & 0 \\\ 0  & -I \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \varphi\\\chi \end{pmatrix}=E\begin{pmatrix} \varphi\\\chi \end{pmatrix}.

Для 2-x компонентных постоянных спиноров \varphi и \chi возникает система из двух уравнений:

\begin{cases}
  c\bold{p}\boldsymbol{\sigma}\chi+mc^2\varphi=E\varphi, \\
  c\bold{p}\boldsymbol{\sigma}\varphi-mc^2\chi=E\chi.
\end{cases}

Приведение подобных слагаемых дает


\begin{cases}
(mc^2-E)\varphi+c\bold{p}\boldsymbol{\sigma}\chi=0,\\
-c\bold{p}\boldsymbol{\sigma}\varphi+(mc^2+E)\chi=0.
\end{cases}

Условие разрешимости этой системы имеет вид


\begin{vmatrix}
mc^2-E & c\bold{p}\boldsymbol{\sigma}\\
-c\bold{p}\boldsymbol{\sigma} & mc^2+E
\end{vmatrix}=0

Выполним преобразование (пользуясь свойствами матриц Паули):

(\boldsymbol{\sigma}\bold{p})(\boldsymbol{\sigma}\bold{p})=\sigma_i\sigma_jp_ip_j=(\delta_{ij}+ie^{ijk}\sigma_k)p_ip_j=\bold{p}^2+i\sigma_ke_{ijk}p_ip_j.

В силу того, что тензор p_ip_j симметричен, а тензор e_{ijk} антисимметричен по индексам i и j, их свертка обращается в ноль. Поэтому условие разрешимости принимает вид:

m^2c^4-E^2+\bold{p}^2c^2=0.

Таким образом, для энергии E свободной частицы с импульсом \bold{p} находим:

E=\pm\sqrt{\bold{p}^2c^2+m^2c^4}.

Барабанов 2 25


Система Orphus

Комментарии