Система Orphus

Система Orphus

Система собственных векторов операторов

\hat{\bold{J}} - оператор углового момента. Безразмерный оператор углового момента вводится формулой:

\hat{\bold{j}}=\frac{\hat{\bold{J}}}{\hbar}.

Оператор квадрата углового момента связан с операторами проекций на координатные оси следующим образом:

\hat{\bold{j}}=\hat{j}^2_x+\hat{j}^2_y+\hat{j}^2_z.

Операторы проекций на координатные оси связаны между собой коммутационными соотношениями:

[\hat{j}_i,\hat{j}_j]=i\varepsilon_{ijk}\hat{j}_k.

Пусть |jm\rangle - это собственные векторы операторов \hat{\bold{j}}^2 и \hat{j}_z:


\begin{cases}
\hat{\bold{j}}^2|jm\rangle=\lambda(j)|jm\rangle,\\
\hat{j}_z|jm\rangle=m|jm\rangle.
\end{cases}

Эти собственные векторы ортонормированы:

\langle jm|j'm' \rangle=\delta_{jj'}\delta_{mm'}

По физическому смыслу m - это проекция вектора \bold{j} на ось Oz, \lambda(j) - квадрат длины углового момента. Попробуем разобраться, какие значения могут принимать \lambda(j) и m, пользуясь только коммутационными соотношениями. Разобьем исследование на пункты.

1) Покажем, что \lambda(j)\geqslant 0 и m^2\leqslant \lambda(j). Имеем:

\lambda(j)=\langle jm|\hat{\bold{j}}^2|jm\rangle=\sum_{\alpha=1}^{3}\langle jm|\hat{j}_{\alpha}^2|jm\rangle=\sum^{3}_{\alpha=1}\langle \hat{j}_{\alpha}jm|\hat{j}_{\alpha}jm\rangle\geqslant 0,

Аналогично

\lambda(j)-m^2=\langle jm|\hat{\bold{j}}^2-j_z^2|jm\rangle=\sum_{\alpha=1}^{2}\langle jm|\hat{j}_{\alpha}^2|jm\rangle=\sum^{2}_{\alpha=1}\langle \hat{j}_{\alpha}jm|\hat{j}_{\alpha}jm\rangle\geqslant 0,

2) Введем операторы

\begin{cases}
\hat{j}_{+}=\frac{\hat{j}_{x}+i\hat{j}_{y}}{\sqrt{2}},\\
\hat{j}_{-}=\frac{\hat{j}_{x}-i\hat{j}_{y}}{\sqrt{2}}
\end{cases}

Тогда

\begin{cases}
\hat{j}_{x}=\frac{\hat{j}_{+}+\hat{j}_{-}}{\sqrt{2}},\\
\hat{j}_{y}=\frac{\hat{j}_{+}-\hat{j}_{-}}{i\sqrt{2}}.
\end{cases}

Также [\hat{j}_{+},\hat{j}_{-}]=\hat{j}_z.

3) Вычислим коммутаторы [\hat{j}_z, \hat{j}_+] и [\hat{j}_z, \hat{j}_-]

[\hat{j}_z, \hat{j}_{\pm}]=\pm\hat{j}_{\pm}.

a) Если m^2\leqslant \lambda(j), то существуют m_{min} и m_{max}. Очевидно, что m_{min}=-m_{max}

б) \hat{j}_{+} и \hat{j}_{-} - операторы повышения и понижения.

4) Воспользовавшись оператором понижения \hat{j}_{-}, запишем:

\hat{j}_{-}|jj\rangle\sim|j(j-1)\rangle,
(\hat{j}_{-})^2|jj\rangle\sim|j(j-2)\rangle,
\ldots
(\hat{j}_{-})^N|jj\rangle\sim|j(j-N)\rangle,~~~~N\in\mathbb{Z}.

Предположим, что таким образом мы осуществляем переход от состояния с максимальной проекцией |jj\rangle к состоянию с минимальной проекцией |j-j\rangle. Тогда

j-N=-j,

то есть

j=\frac{N}{2}.

Следовательно j может принимать либо целые, либо полуцелые значения.

5) Найдем \lambda(j)

\lambda(j)=j(j+1).

Барабанов 1 81


Система Orphus

Комментарии