Система Orphus

Система Orphus

Уравнение Паули как нерелятивистский предел уравнения Дирака

\Phi(\bold{r},t), \bold{A}(\bold{r},t) - скалярный и векторный потенциал электромагнитного поля.

Рассмотрим нерелятивистский предел - E - положительна и мало в отличие от mc^2. Волновую функцию в форме:

\Psi(\bold{r},t)=\exp\left(-i\frac{mc^2t}{\hbar}\right)\begin{pmatrix}
\varphi(\bold{r},t)\\
\chi(\bold{r},t)
\end{pmatrix}.

Подстановка в уравнение Дирака дает:

mc^2\exp\left(-i\frac{mc^2t}{\hbar}\right)\begin{pmatrix}
\varphi\\
\chi
\end{pmatrix}+i\hbar\exp\left(-i\frac{mc^2t}{\hbar}\right)\frac{\partial}{\partial t}\begin{pmatrix}
\varphi\\
\chi
\end{pmatrix}=
=c\boldsymbol{\alpha}\left(\hat{\bold{p}}-\frac{e}{c}\bold{A}\right)\exp\left(-i\frac{mc^2t}{\hbar}\right)\begin{pmatrix}
\varphi\\
\chi
\end{pmatrix}+\beta mc^2\exp\left(-i\frac{mc^2t}{\hbar}\right)\begin{pmatrix}
\varphi\\
\chi
\end{pmatrix}+
+e\Phi\exp\left(-i\frac{mc^2t}{\hbar}\right)\begin{pmatrix}
\varphi\\
\chi
\end{pmatrix}.

Сокращаем \exp\left(-i\frac{mc^2t}{\hbar}\right) и переписываем полученное уравнение, пользуясь явными выражениями для матриц \boldsymbol{\alpha} и \beta:

mc^2\begin{pmatrix}
\varphi\\
\chi
\end{pmatrix}+i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\begin{pmatrix}
\varphi\\
\chi
\end{pmatrix}=c\begin{pmatrix}
0 & \boldsymbol{\sigma}\\
\boldsymbol{\sigma} & 0
\end{pmatrix}\left(\hat{\bold{p}}-\frac{e}{c}\bold{A}\right)\begin{pmatrix}
\varphi\\
\chi
\end{pmatrix}+
+mc^2\begin{pmatrix}
I & 0\\
0 & -I
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\varphi\\
\chi
\end{pmatrix}+e\Phi\begin{pmatrix}
\varphi\\
\chi
\end{pmatrix}

Получаем систему:

\begin{cases}
mc^2\varphi+i\hbar\frac{\partial\varphi}{\partial t}=c\boldsymbol{\sigma}\left(\hat{\bold{p}}-\frac{e}{c}\bold{A}\right)\chi+mc^2\varphi+e\Phi\varphi,\\
mc^2\chi+i\hbar\frac{\partial\chi}{\partial t}=c\boldsymbol{\sigma}\left(\hat{\bold{p}}-\frac{e}{c}\bold{A}\right)\chi-mc^2\chi+e\Phi\chi,
\end{cases}

или

\begin{cases}
i\hbar\frac{\partial\varphi}{\partial t}=c\boldsymbol{\sigma}\left(\hat{\bold{p}}-\frac{e}{c}\bold{A}\right)\chi+e\Phi\varphi,\\
2mc^2\chi+i\hbar\frac{\partial\chi}{\partial t}=c\boldsymbol{\sigma}\left(\hat{\bold{p}}-\frac{e}{c}\bold{A}\right)\chi+e\Phi\chi,
\end{cases}

Обратимся ко второму уравнению в этой системе. В нерелятивистском случае:

|e\Phi|\ll mc^2,~~~\left|i\hbar\frac{\partial\xi}{\partial t}\right|\ll mc^2|\chi|.

Поэтому с точностью до членов первого порядка по малому параметру v/c получаем

\chi\simeq\frac{\boldsymbol{\sigma}\left(\hat{\bold{p}}-\frac{e}{c}\bold{A}\right)}{2mc}\varphi,~~|\chi|\ll|\varphi|.

Иными словами, в нерелятивистском приближении биспинор

\Psi(\bold{r},t)\simeq\begin{pmatrix}
\varphi(\bold{r},t)\\
0
\end{pmatrix}\exp\left(-i\frac{mc^2t}{\hbar}\right)

полностью определяется спинором \varphi(\bold{r},t).

Подставляя в первое уравнение системы приближенное выражение для \chi, мы получаем уравнение для спинора \varphi, справедливое с точностью до членов первого порядка по v/c, а именно:

i\hbar\frac{\partial\varphi}{\partial t}=c\boldsymbol{\sigma}\left(\hat{\bold{p}}-\frac{e}{c}\bold{A}\right)\frac{\boldsymbol{\sigma}\left(\hat{\bold{p}}-\frac{e}{c}\bold{A}\right)}{2mc}\varphi+e\Phi\varphi.

Выполним преобразование

\boldsymbol{\sigma}\left(\hat{\bold{p}}-\frac{e}{c}\bold{A}\right)\boldsymbol{\sigma}\left(\hat{\bold{p}}-\frac{e}{c}\bold{A}\right)=\left(\hat{\bold{p}}-\frac{e}{c}\bold{A}\right)^2-\frac{e\hbar}{c}\boldsymbol{\sigma}\bold{H},

где \bold{H}=\mathrm{rot}\bold{A} - это напряженность магнитного поля.

Таким образом мы получили уравнение для 2-х компонентной волновой функции \varphi нерелятивистской частицы со спином 1/2 во внешнем электромагнитном поле. Оно выглядит следующим образом,

i\hbar\frac{\partial\varphi}{\partial t}=\frac{\left(\hat{\bold{p}}-\frac{e}{c}\bold{A}\right)^2}{2m}\varphi-\frac{e\hbar}{2mc}
\boldsymbol{\sigma}\bold{H}\varphi+e\Phi\varphi,

и называется уравнением Паули.


Барабанов 2 стр 29


Система Orphus

Комментарии