Система Orphus

Система Orphus

Построение собственных функций осциллятора в координатном представлении с помощью операторов рождения и уничтожения

Стационарное уравнение Шредингера для линейного уравнения выглядит следующим образом:

\left(\frac{\hat{p}^2}{2m}+\frac{m\omega^2\hat{x}^2}{2}\right)|n\rangle=E_n|n\rangle,~~[\hat{p},\hat{x}]=-i\hbar.

Собственные векторы нормированы на единицу:

\langle n|n \rangle=1.

Обезразмерим уравнение, домножая его левую и правую части на \frac{2}{\hbar\omega}:

\left(\frac{\hat{p}^2}{m\hbar\omega}+\frac{m\omega\hat{x}^2}{\hbar}\right)|n\rangle=\frac{2E_n}{\hbar\omega}|n\rangle.

Выполняем замену переменных:

\hat{\xi}=\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}\hat{x},~\hat{p}_{\xi}=\frac{\hat{p}}{\sqrt{m\hbar\omega}},~~\varepsilon_n=\frac{E_n}{\hbar\omega},

при этом

[\hat{p}_{\xi},\hat{\xi}]=-i.

Стационарное уравнение Шредингера имеет вид:

\left(\hat{p}_{\xi}^2+\hat{\xi}^2\right)|n\rangle=2\xi_n|n\rangle.

Введем новые операторы

\hat{a}=\frac{\hat{\xi}+i\hat{p}_{\xi}}{\sqrt{2}}
\hat{a}^{+}=\frac{\hat{\xi}-i\hat{p}_{\xi}}{\sqrt{2}}

Обезразмеренные операторы координаты \hat{\xi} и импульса \hat{p}_{\xi} выражаются через эти новые операторы следующим образом

\hat{\xi}=\frac{\hat{a}+\hat{a}^{+}}{\sqrt{2}}
\hat{p}_{\xi}=\frac{\hat{a}-\hat{a}^{+}}{i\sqrt{2}}

Вычислим коммутатор \hat{a} и \hat{a}^{+}:

[\hat{a},\hat{a}^{+}]=\frac{1}{2}[\hat{\xi}+i\hat{p}_{\xi}, \hat{\xi}-i\hat{p}_{\xi}]=\frac{1}{2}(i(-i)-i(i))=1,

то есть

\hat{a}\hat{a}^{+}-\hat{a}^{+}\hat{a}=1 или \hat{a}\hat{a}^{+}=\hat{a}^{+}\hat{a}+1

Перепишем теперь стационарное уравнение Шредингера через операторы \hat{a} и \hat{a}^{+}:

\frac{1}{2}(-(\hat{a}-\hat{a}^{+})^2+(\hat{a}+\hat{a}^{+})^2)|n\rangle=2\varepsilon_{n}|n\rangle,
(\hat{a}\hat{a}^{+}+\hat{a}^{+}\hat{a})|n\rangle=2\varepsilon_n|n>,
(\hat{a}^{+}\hat{a}+1+\hat{a}^{+}\hat{a})|n\rangle=2\varepsilon_n|n\rangle
(\hat{a}^{+}\hat{a}+\frac{1}{2})|n\rangle=\varepsilon_n|n\rangle,
\hat{h}|n\rangle=\varepsilon_n|n\rangle,

где оператор \hat{h}=\hat{a}^{+}\hat{a}+\frac{1}{2} есть, по существу, обезразмеренный оператор Гамильтона.

Вычислим коммутаторы операторов \hat{a}^{+} и \hat{a} с оператором \hat{h}. Имеем:

[\hat{a}^{+},\hat{h}]=[\hat{a}^{+},\hat{a}^{+}\hat{a}+\frac{1}{2}]=\hat{a}^{+}[\hat{a}^{+},\hat{a}]=-\hat{a}^{+},

то есть

\hat{a}^{+}\hat{h}=\hat{h}\hat{a}^{+}-\hat{a}^{+}

Аналогично для [\hat{a},\hat{h}]=\hat{a}, или

\hat{a}\hat{h}=\hat{h}\hat{a}+\hat{a}.

Действуя на безразмерное стационарное уравнение Шредингера слева оператором \hat{a}^{+}, получаем:

\hat{a}^{+}\hat{h}|n\rangle=\varepsilon_n\hat{a}^{+}|n\rangle,

или

\hat{h}{a}^{+}|n\rangle-{a}^{+}|n\rangle=\varepsilon_n\hat{a}^{+}|n\rangle,
\hat{h}(\varepsilon_n\hat{a}^{+}|n\rangle)=(\varepsilon_n+1)(\hat{a}^{+}|n\rangle).

Предположим, что

\varepsilon_{n+1}=\varepsilon_n+1,~~~\hat{a}^{+}|n\rangle=c|n+1\rangle,

при этом

|c|^2=\langle c(n+1)|c(n+1)\rangle=\langle \hat{a}^{+}n|\hat{a}^{+}n\rangle=
=\langle n|\hat{a}\hat{a}^{+}|n\rangle=\langle n|\hat{h}+\frac{1}{2}|n\rangle=\varepsilon_n+\frac{1}{2}

Аналогичным образом, действуя на то же уравнение слева оператором \hat{a}, получаем

\hat{a}\hat{h}|n\rangle=\varepsilon_n\hat{a}|n\rangle,
\hat{h}(\hat{a}|n\rangle)=(\varepsilon_1-1)(\hat{a}|n\rangle).

Следовательно

\varepsilon_{n-1}=\varepsilon_n-1,~~\hat{a}|n\rangle=c'|n-1\rangle,

при этом

|c'|^2=\langle c'(n-1)|c'(n-1)\rangle=\langle \hat{a}n|\hat{a}n\rangle=\langle n|\hat{h}-\frac{1}{2}|n\rangle=\varepsilon_n-\frac{1}{2}.

Но |c'|^2\geqslant 0, поэтому \varepsilon_n\geqslant \frac{1}{2} или

\min_{n}\varepsilon_n=\frac{1}{2}.

Полагаем \varepsilon_0=\frac{1}{2}, тогда \varepsilon_n=\frac{1}{2}+n. Переходя к E_n, находим спектр Гамильтона:

E_n=\hbar\omega(n+\frac{1}{2}).

Кроме того считая c и c' действительными неотрицательными числами, получаем:

\hat{a}^{+}|n\rangle=\sqrt{n+1}|n+1\rangle
\hat{a}|n\rangle=\sqrt{n}|n-1\rangle

Покажем теперь, как найти волновые функции основного и возбужденного состояний в координатном представлении. Вектор |\varphi_0\rangle\equiv|0\rangle основного состояния, т.е. состояния с минимальной энергией \varepsilon_0, удовлетворяет соотношению:

\hat{a}|0\rangle=0.

В \xi - представлении получаем:

\frac{\hat{\xi}_i\hat{p}_{\xi}}{\sqrt{2}}\psi_0(\xi)=0,

или

(\xi+\frac{d}{d\xi})\psi_0(\xi)=0.

Решением, нормированным на единицу является функция

\psi_0(\xi)=\frac{1}{\pi^{1/4}}e^{-\xi^2/2}.

Волновые функции возбужденных состояний можно найти, воспользовавшись соотношениями:

\hat{a}^{+}|0\rangle=1|1\rangle,~~|1\rangle=\hat{a}^{+}|0\rangle,
\hat{a}^{+}|1\rangle=\sqrt{2}|2\rangle,~~|2\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{a}^{+}|1\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{a}^{+})^2|0\rangle,
\hat{a}^{+}|2\rangle=\sqrt{3}|3\rangle,~~|3\rangle=\frac{1}{\sqrt{3}}\hat{a}^{+}|2\rangle=\frac{1}{\sqrt{3!}}(\hat{a}^{+})^3|0\rangle,
\ldots

Легко видеть, что

|n\rangle=\frac{1}{\sqrt{n!}}(\hat{a}^{+})^n|0\rangle.

В координатном представлении

\psi_n(\xi)=\frac{1}{\sqrt{n!}}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^n\left(\xi-i\left(-i\frac{d}{d\xi}\right)\right)^n\psi_0(\xi)

или

\psi_n(\xi)=\frac{1}{\sqrt{2^n n!\sqrt{\pi}}}\left(\xi-\frac{d}{d\xi}\right)^n e^{-\xi^2/2}=\frac{1}{\sqrt{2^n n!\sqrt{\pi}}}H_n(\xi)e^{-\xi^2/2},

где

H_n(\xi)=e^{\xi^2/2}\left(\xi-\frac{d}{d\xi}\right)^n e^{-\xi^2/2}

есть полином Эрмита n-й степени.


Барабанов 1 стр 62


Система Orphus

Комментарии