Система Orphus

Система Orphus

Принцип Паули

Принцип Паули (принцип запрета) — один из фундаментальных принципов квантовой механики, согласно которому два и более тождественных фермиона (частиц с полуцелым спином) не могут одновременно находиться в одном квантовом состоянии.

Рассмотрим систему, состоящую из N одинаковых частиц, взаимодействием которых друг с другом можно пренебречь. Пусть \psi_1, \psi_2,... - волновые функции различных стационарных состояний, в которых может находиться каждая из частиц в отдельности. Состояние системы в целом можно определять перечислением номеров состояний, в которых находятся отдельные частицы. Возникает вопрос о том, каким образом должна быть составлена из функций \psi_1, \psi_2,... волновая функция \psi всей системы в целом.

Пусть p_1,p_2,...,p_N - номера состояний, в которых находятся отдельные частицы. Для системы бозонов волновая функция \psi(\xi_1,\xi_2,...,\xi_N) выражается суммой произведений вида

\psi_{p_1}(\xi_1)\psi_{p_2}(\xi_2)...\psi_{p_N}(\xi_N)

со всеми возможными перестановками различных индексов p_1,p_2,...; такая сумма обладает, очевидно, требуемым свойством симметрии. Так, для системы из двух частиц, находящихся в различных (p_1\ne p_2) состояниях:

\psi(\xi_1,\xi_2)=\frac{1}{\sqrt{2}}[\psi_{p_1}(\xi_1)\psi_{p_2}(\xi_2)+\psi_{p_1}(\xi_2)\psi_{p_2}(\xi_1)].

Множитель 1/\sqrt{2} введен для нормировки. В общем же случае системы произвольного числа частиц N нормированная функция

\psi_{N_1N_2}...\left(\frac{N_1!N_2!...}{N!}\right)^{1/2}\sum \psi_{p_1}(\xi_1)\psi_{p_2}(\xi_2)...\psi_{p_N}(\xi_N),

где сумма берется по всем перестановкам различных из индексов p_1,p_2,..., p_N, f числа N_i указывают сколько из всех этих индексов имеют одинаковые значения i (при этом \sum_{i}N_i=N). При интегрирование квадрата |\psi^2| по d\xi_1d\xi_2...d\xi_N обращаются в нуль все члены, за исключением только квадратов модулей каждого из членов суммы; поскольку общее число членов в сумме (61.3) равно, очевидно, N!/(N_1!N_2!...), то отсюда и получается нормировочный коэффициент в (61.3).

Для системы фермионов волновая функция \psi есть антисимметричная комбинация произведений (61.1). Так для системы из двух частиц имеем

\psi(\xi_1,\xi_2)=\frac{1}{\sqrt{2}}[\psi_{p_1}(\xi_1)\psi_{p_2}(\xi_2)-\psi_{p_1}(\xi_2)\psi_{p_2}(\xi_1)]

В общем же случае N частиц волновая функция системы записывается в виде определителя

\psi_{N_1N_2...}=\frac{1}{\sqrt{N!}}
\begin{vmatrix}
\psi_{p_1}(\xi_1) & \psi_{p_1}(\xi_2) & ... &\psi_{p_1}(\xi_N) \\
\psi_{p_2}(\xi_1) & \psi_{p_2}(\xi_2) & ... &\psi_{p_2}(\xi_N) \\
...&...&...&...\\
\psi_{p_N}(\xi_1) & \psi_{p_N}(\xi_2) & ... &\psi_{p_N}(\xi_N)
\end{vmatrix}.

Перестановке двух частиц соответствует здесь перестановка двух столбцов определителя, в результате чего последний меняет знак.

Из выражения (61.5) следует важный результат: если среди номеров p_1, p_2,... есть два одинаковых, то две строки определителя окажутся одинаковыми и весь определитель обратиться тождественно в ноль. Он будет отличным от нуля только в тех случаях, когда все номера p_1,p_2,... различны. Таким образом, в системе одинаковых фермионов не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии две (или более) частицы. Это - так называемый принцип Паули.


Система Orphus

Комментарии