Система Orphus

Система Orphus

Унитарные преобразования векторов состояний и операторов

Матричные элементы одной и той же физической величины могут определяться по отношению к различным совокупностям волновых функций. Это могут быть, например, волновые функции стационарных состояний, описывающихся различными наборами физических величин, или волновые функции стационарных состояний одной и той же системы, находящейся в различных внешних полях. В связи с этим возникает вопрос о преобразовании матриц от одного представления к другому.

Пусть \psi_n(q) и \psi'_n(q)~(n=1,2,\ldots) - две полные системы ортонормированных функций. Они связаны друг с другом некоторым линейным преобразованием

\psi'_n=\sum_{m}S_{mn}\psi_m,

представляющим собой просто разложение функций \psi'_n по полной системе функций \psi_n. Это преобразование можно записать в виде

\psi'_n=\hat{S}\psi_n.

Оператор \hat{S} должен удовлетворять определенному условию, для того чтобы обеспечить ортонормированность функций \psi'_n, если таковыми являются функции \psi_n. действительно, подставив (12.2) в условие \int \psi^{'*}_m\psi'_ndq=\delta_{mn} и учитывая определение транспонированного оператора (3.14), получим

\int(\hat{S}\psi_n)\hat{S}^*\psi^*_mdq=\int \psi^*_m \tilde{hat S}^{*}\hat{S}\psi_ndq=\delta_{nm}

Для того чтобы это равенство имело место при всех m,n, должно быть \tilde{\hat S}\cdot\hat{S}=1, или

\tilde{\hat S} \equiv \hat{S}^{+}=\hat{S}^{-1}

т.е. обратный оператор совпадает с сопряженным. Операторы, обладающие таким свойством, называют унитарным.

Унитарные преобразования сохраняют нормировку волновой функции, и значения коммутаторов.


Ландавшиц стр54


Система Orphus

Комментарии