Система Orphus

Система Orphus

Постановка задачи рассеяния

В классической механике столкновения двух частиц полностью определяется их скоростями и прицельным расстоянием. В квантовой механике меняется сама постановка вопроса, так как при движении с определенными скоростями понятие траектории, а с нею и прицельное расстояние теряет смысл. Целью теории является здесь лишь вычисление вероятности того, что в результате столкновения частицы отклоняются на тот или иной угол. Мы говорим здесь о так называемых упругих столкновениях, при которых не происходит никаких превращений частиц или (если частица сложная) не меняется их внутреннее состояние.

Задача об упругом столкновении, как и всякая задача двух тел, сводится к задаче рассеяния одной частицы с приведенной массой в поле U(r) неподвижного силового центра. Сведение осуществляется переходом к системе координат, в которой покоится центр инерции обеих частиц. Угол рассеяния в этой системе обозначим через \theta. Он связан простыми формулами с углами \theta_1 и \theta_2 отклонения обеих частиц в "лабораторной" системе координат, в которой одна из частиц (вторая) до столкновения покоилась:

\mathrm{tg}\theta_1=\frac{m_2\sin\theta}{m_1+m_2\cos\theta},~~~\theta_2=\frac{\pi-\theta}{2},

где m_1, m_2 - массы частиц. В частности, если массы одинаковы, то получается просто

\mathrm{tg}\theta_1=\frac{\theta}{2},~~~\theta_2=\frac{\pi-\theta}{2},

Сумма \theta_1+\theta_2=\pi/2, т.е. частицы разлетаются под прямым углом. Ниже в этой главе мы пользуемся везде системой координат, связанной с центром инерции, а под m подразумевается приведенная масса сталкивающихся частиц.

Свободная частица, движущаяся в положительном направлении оси z описывается плоской волной, которую мы запишем в виде \psi=e^{ikz}, т.е. выберем нормировку при которой плотность потока в волне равна скорости частицы v. Рассеянные частицы описываются вдали от центра расходящейся сферической волной вида f(\theta)e^{ikr}/r, где f(\theta) - некоторая функция угла рассеяния \theta. Эту функцию называют амплитудой рассеяния. Таким образом, точная волновая функция, являющаяся решением уравнения Шредингера с потенциальной энергией U(r), должна иметь на больших расстояниях асимптотический вид

\psi\approx e^{ikz}+\frac{f(\theta)}{r}e^{ikr}.~~~~(123.3)

Вероятность рассеянной частицы пройти в единицу времени пройти через элемент поверхности dS=r^{2}do. Её отношение к плотности в падающей волне равно

d\sigma=|f(\theta)|^2do.

Это величина имеет размерность площади и называется эффективным сечением рассеяния внутри телесного угла do. Если положить do=2\pi\sin\theta d\theta, то мы получим сечение

d\sigma=2\pi\sin\theta|f(\theta)|^2 d\theta

для рассеяния в интервале углов между \theta и \theta+d\theta.

Решение уравнения Шредингера, описывающее рассеяние в центральном поле U(r), должно, очевидно, быть аксиально симметричным относительно оси z - направления падающих частиц. Всякое такое решение может быть представлено в виде суперпозиции волновых функций непрерывного спектра, отвечающих движению в данном поле частиц с заданной энергией \hbar^2k^2/2m и орбитальными моментами с различными величинами l и равными нулю z - проекциями (эти функции не зависят от азимутального угла вокруг оси z, т.е. аксиально-симметричны). Таким образом, искомая волновая функция имеет форму

\psi=\sum^{\infty}_{l=0}A_lP_l(\cos\theta)R_{kl}(r),~~~~(123.6)

где A_{l} - постоянные, а R_{lk}(r) - радиальные функции, удовлетворяющие уравнению

\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR_{kl}}{dr}\right)+\left[k^2-\frac{l(l+1)}{r^2}-\frac{2m}{\hbar^2}U(r)\right]R_{kl}=0.

Коэффициенты A_l должны быть выбраны так, чтобы функция (123.6) имела на больших расстояниях асимптотический вид (123.3). Покажем, что для этого надо положить

A_l=\frac{1}{2k}(2l+1)i^{l}\exp(i\delta_l)~~~~(123.8)

где \delta_l - фазовые сдвиги функции R_{kl}. Тем самым будет решена задача о выражении амплитуды рассеяния через эти фазы.

Асимптотический вид функции R_{kl} дается формулой

R_{kl}\approx\frac{2}{r}\sin(kr-\frac{l\pi}{2}+\delta_{l})=
=\frac{1}{ir}\{(-i)^l\exp[i(kr+\delta_l)]\}.

Подставив это выражение, а также (123.8) в (123.6), получим асимптотическое выражение волновой функции в виде

\psi\approx\frac{1}{2irk}\sum^{\infty}_{l=0}(2l+1)P_l(\cos\theta)[(-1)^{l+1}e^{-ikr}+S_{l}e^{ikr}]

где введено обозначение

S_{l}=\exp(2i\delta_l).

C другой стороны, разложение плоской волны после такого же преобразования есть

e^{ikz}\approx\frac{1}{2ikr}\sum^{\infty}_{l=0}(2l+1)P_{l}(\cos\theta)[(-1)^{l+1}e^{-ikr}+e^{ikr}].

Мы видим, что в разности \psi-e^{ikz} все члены, содержащие множители e^{-ikr}, как и следовало выпадают. Для коэффициента же при e^{ikr}/r в этой разности, т.е. для амплитуды рассеяния находим

f(\theta)=\frac{1}{2ik}\sum^{\infty}_{l=0}(2l+1)(S_l-1)P_l(\cos\theta).~~~~(123.11)

Это формула решает задачу о выражение амплитуды рассеяния через фазы \delta_{l}.

Проинтегрировав d\sigma по всем углам, мы получим полное сечение рассеяния \sigma, представляющая собой отношение полной величины рассеяния частицы (в единицу времени) к плотности потока в падающей волне. Подставляя (123.11) в интеграл

\sigma=2\pi\int_{0}^{\pi}|f(\theta)|^2\sin\theta d\theta

и помня, что полиномы Лежандра с различными l взаимно ортогональны, а

\int^{\pi}_0 P_l^2(\cos\theta)\sin\theta d\theta=\frac{2}{2l+1},

получим следующее выражение для полного сечения:

\sigma=\frac{4\pi}{k^2}\sum^{\infty}_{l=0}(2l+1)\sin^2\delta_l.

Каждый из членов этой суммы представляет собой парциальное сечение \sigma_l для рассеяния частиц с заданным орбитальным моментом l. Отметим, что максимальное возможное значение этого сечения есть

\sigma_{l\max}=\frac{4\pi}{k^2}(2l+1).

Сравнив его с формулой

\sigma_{l\max}=\frac{\pi}{k^2}(2l+1),

видим, что число частиц, рассеянных с моментом l, может оказаться в 4 раза большим числа таких частиц в падающем потоке. Это обстоятельство является чисто квантовым эффектом, связанным с интерференцией между рассеянными и нерассеянными частицами.


Ландавшиц 606


Система Orphus

Комментарии